Calcule a capacitãncia do capacitor de placas planas e paralelas preenchido com um dielétrico de constante igual a 3 , cujas placas de área 0,92 \mathrm{~m}^{2} estão afastadas de 4,5 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a capacitância do capacitor formado por placas planas e paralelas preenchido por um dielétrico.
Informações dadas:
\varepsilon_r = 3
A = 0,92\\ \mathrm{m^2}
\text{separação entre placas } d = 4,5\\ \mathrm{mm}çã
Não há outras condições (tensão, cargas, etc.) — só precisamos da capacitância estática desse arranjo.

Passo 2

Qual fórmula usamos? Para um capacitor de placas paralelas homogêneo (com dielétrico de permitividade relativa \varepsilon_r entre as placas) a capacitância é dada por
C = \varepsilon_0\,\varepsilon_r\,\frac{A}{d}.
Vou explicar cada símbolo:
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante elétrica), que vale aproximadamente \varepsilon_0 = 8,854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}. Essa constante relaciona campo elétrico e deslocamento elétrico no vácuo.
  • \varepsilon_r é a permissividade relativa (constante dielétrica) do material entre as placas; é adimensional. No nosso caso \varepsilon_r = 3.
  • A é a área de cada placa, em metros quadrados.
  • d é a distância entre as placas, em metros.
    Essa fórmula vem da definição C=Q/V aplicada ao campo uniforme entre placas paralelas, integrando o campo e usando D=\varepsilon_0\varepsilon_r E. Não preciso derivar inteiro aqui, mas é essa relação básica que se aplica quando as bordas não importam (placas grandes e separação pequena).

Passo 3

Primeiro convertemos as unidades fornecidas para o SI:
A = 0,92\\ \mathrm{m^2}\quad(\text{já em SI})á
d = 4,5\\ \mathrm{mm} = 0,0045\\ \mathrm{m}.
Também uso \varepsilon_0 = 8,854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m} e \varepsilon_r = 3.

Passo 4

Agora substituímos na fórmula passo a passo, mostrando multiplicações intermediárias para ficar bem claro como calcular na prova:
C = \varepsilon_0\,\varepsilon_r\,\frac{A}{d} = \bigl(8,854\times10^{-12}\bigr)\cdot 3 \cdot \frac{0,92}{0,0045}\\ \mathrm{F}.

Passo 5

Calculemos primeiro \varepsilon_0\varepsilon_r:
\varepsilon_0\varepsilon_r = 8,854\times10^{-12}\cdot 3 = 2,6562\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.
Multiplicando pela área:
\varepsilon_0\varepsilon_r A = 2,6562\times10^{-11}\cdot 0,92 = 2,443704\times10^{-11}\\ \mathrm{F\cdot m^{-1}}\times\mathrm{m^2} = 2,443704\times10^{-11}\\ \mathrm{F\cdot m}.

Passo 6

Agora dividimos por d:
C = \frac{2,443704\times10^{-11}}{0,0045}\\ \mathrm{F} = \frac{2,443704\times10^{-11}}{4,5\times10^{-3}}\\ \mathrm{F}.
Dividindo as potências de dez e os coeficientes:
C = \left(\frac{2,443704}{4,5}\right)\times10^{-8}\\ \mathrm{F} = 0,543045333\ldots\times10^{-8}\\ \mathrm{F} = 5,43045333\times10^{-9}\\ \mathrm{F}.

Passo 7

Aproximando com poucas casas decimais (suficiente na prova):
C \approx 5,43\times10^{-9}\\ \mathrm{F}.
É comum expressar em nanoFarads:
C \approx 5,43\\ \mathrm{nF}.

Resposta

C \approx 5,43\times10^{-9}\\ \mathrm{F} = 5,43\\ \mathrm{nF}

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