Numa região de vácuo, para
, o vetor densidade de fluxo de campo elétrico é dado por
(no SI). Na região para
, existe um dielétrico de constante dielétrica 5. Determine a polarização nesse segundo meio.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz este pedido:
- Para
(região de vácuo) o vetor densidade de fluxo elétrico é (SI). - Para
há um dielétrico cuja constante dielétrica relativa é . - Pede-se: determinar a polarização
no dielétrico (região ).
Observação importante que vou usar: o enunciado não menciona cargas livres na superfície entre os meios. Então assumimos que não há carga livre de superfície na interface; com isso, a condição de contorno relevante é a continuidade da componente normal de
através da fronteira. Assim, o valor de
dado na região de vácuo vale também imediatamente no dielétrico do outro lado (isto será usado sem pedir confirmação).
Passo 2
Relembrando a relação fundamental entre
,
e
(essa é a chave física que vamos usar):
Expliquei o significado de cada termo:
-
é a densidade de fluxo elétrico (vetor) em . -
é a permissividade do vácuo (constante, aproximadamente ). -
é o campo elétrico (em ). -
é a polarização do meio (dipolos por unidade de volume), com unidade .
Essa equação diz: parte de
vem do campo no vácuo e outra parte vem da polarização do material.
Passo 3
Para um dielétrico linear, homogêneo e isotrópico (modelo usual em exercícios), existe também a relação
onde
é a constante dielétrica relativa do material. Aqui
é a permissividade absoluta do material.
Explicação curta: em meios lineares a resposta
é proporcional a
;
mede o quanto o meio aumenta a permissividade em relação ao vácuo.
Passo 4
A partir das duas relações acima podemos eliminar
e obter
em função de
e de
. Faço a álgebra passo a passo:
- Da relação do dielétrico:
. - Substituindo em
temos
- Simplificando o primeiro termo:
- Isolando
:
Essa expressão é conveniente porque calcula
diretamente a partir de
e de
, sem precisar usar
nem
explicitamente.
Passo 5
Agora aplico a fórmula com o valor
. O fator é
Portanto
Passo 6
Multiplico componente a componente o vetor dado
pelo fator
:
- componente
: , - componente
: , - componente
: .
Assim