Numa região de vácuo, para x>0, o vetor densidade de fluxo de campo elétrico é dado por \vec{D}=2 \hat{i}-4 \hat{j}+1,5 \hat{k} (no SI). Na região para x<0, existe um dielétrico de constante dielétrica 5. Determine a polarização nesse segundo meio.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz este pedido:
  • Para x>0 (região de vácuo) o vetor densidade de fluxo elétrico é \vec{D}=2\hat{i}-4\hat{j}+1,5\hat{k} (SI).
  • Para x<0 há um dielétrico cuja constante dielétrica relativa é \varepsilon_r=5.
  • Pede-se: determinar a polarização \vec{P} no dielétrico (região x<0).
Observação importante que vou usar: o enunciado não menciona cargas livres na superfície entre os meios. Então assumimos que não há carga livre de superfície na interface; com isso, a condição de contorno relevante é a continuidade da componente normal de \vec{D} através da fronteira. Assim, o valor de \vec{D} dado na região de vácuo vale também imediatamente no dielétrico do outro lado (isto será usado sem pedir confirmação).

Passo 2

Relembrando a relação fundamental entre \vec{D}, \vec{E} e \vec{P} (essa é a chave física que vamos usar):
\vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P}.
Expliquei o significado de cada termo:
  • \vec{D} é a densidade de fluxo elétrico (vetor) em \mathrm{C/m^2}.
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante, aproximadamente 8{,}854\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}).
  • \vec{E} é o campo elétrico (em \mathrm{V/m}).
  • \vec{P} é a polarização do meio (dipolos por unidade de volume), com unidade \mathrm{C/m^2}.
Essa equação diz: parte de \vec{D} vem do campo no vácuo e outra parte vem da polarização do material.

Passo 3

Para um dielétrico linear, homogêneo e isotrópico (modelo usual em exercícios), existe também a relação
\vec{D}=\varepsilon\vec{E}=\varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E},
onde \varepsilon_r é a constante dielétrica relativa do material. Aqui \varepsilon_0\varepsilon_r é a permissividade absoluta do material.
Explicação curta: em meios lineares a resposta \vec{D} é proporcional a \vec{E}; \varepsilon_r mede o quanto o meio aumenta a permissividade em relação ao vácuo.

Passo 4

A partir das duas relações acima podemos eliminar \vec{E} e obter \vec{P} em função de \vec{D} e de \varepsilon_r. Faço a álgebra passo a passo:
  1. Da relação do dielétrico: \vec{E}=\dfrac{\vec{D}}{\varepsilon_0\varepsilon_r}.
  2. Substituindo em \vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P} temos
\vec{D}=\varepsilon_0\left(\dfrac{\vec{D}}{\varepsilon_0\varepsilon_r}\right)+\vec{P}.
  1. Simplificando o primeiro termo:
\vec{D}=\dfrac{\vec{D}}{\varepsilon_r}+\vec{P}.
  1. Isolando \vec{P}:
\vec{P}=\vec{D}-\dfrac{\vec{D}}{\varepsilon_r}=\vec{D}\!\left(1-\dfrac{1}{\varepsilon_r}\right)=\vec{D}\dfrac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r}.
Essa expressão é conveniente porque calcula \vec{P} diretamente a partir de \vec{D} e de \varepsilon_r, sem precisar usar \varepsilon_0 nem \vec{E} explicitamente.

Passo 5

Agora aplico a fórmula com o valor \varepsilon_r=5. O fator é
\dfrac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r}=\dfrac{5-1}{5}=\dfrac{4}{5}=0,8.
Portanto
\vec{P}=0,8\,\vec{D}.

Passo 6

Multiplico componente a componente o vetor dado \vec{D}=2\hat{i}-4\hat{j}+1,5\hat{k} pelo fator 0,8:
  • componente \hat{i}: 2\times 0,8=1,6,
  • componente \hat{j}: -4\times 0,8=-3,2,
  • componente \hat{k}: 1,5\times 0,8=1,2.
Assim
\vec{P}=1,6\hat{i}-3,2\hat{j}+1,2\hat{k}\quad(\mathrm{C/m^2}).

Resposta

\vec{P}=1,6\hat{i}-3,2\hat{j}+1,2\hat{k}\\ \mathrm{C/m^{2}}

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