Encontre a capacitância por unidade comprimento entre um condutor cilídrico de diâmetro 6,99 \mathrm{~cm} e um plano condutor aterrado, paralelo ao eixo do cilindro e distante 8,53 \mathrm{~m} dele.
Sugestão: Use o método das imagens com a condição: d \gg a (raio).

Passo 1

O enunciado pede a capacitância por unidade de comprimento entre um condutor cilíndrico e um plano condutor aterrado, paralelo ao eixo do cilindro. Dados fornecidos:
  • Diâmetro do cilindro: \,6{,}99\\ \mathrm{cm}\,.
  • Distância entre o eixo do cilindro e o plano: \,8{,}53\\ \mathrm{m}\,.
  • Sugestão: usar o método das imagens com a condição \,d \gg a\, (onde \,a\, é o raio do cilindro).
O que se pede explicitamente: calcular a capacitância por unidade de comprimento C' (unidades: \mathrm{F/m}) entre o cilindro e o plano aterrado.

Passo 2

Ideia física (método das imagens) — explicação curta e intuitiva:
  • Um plano condutor aterrado pode ser substituído, para o problema eletrostático, por uma “carga imagem” simétrica do outro lado do plano, tal que o plano fique em potencial zero.
  • No caso de um fio cilíndrico longo paralelo ao plano, a imagem é um fio infinito com carga oposta, colocado à mesma distância do plano, do outro lado.
  • Para simplificar ainda mais usando a hipótese \,d\gg a\,, aproximamos o cilindro por uma linha de carga localizada no seu eixo. Essa aproximação é válida porque o raio é muito menor que a distância ao plano, então a variação do potencial ao longo da superfície do cilindro por efeito da imagem é pequena.

Passo 3

Fórmula do potencial de uma linha de carga e potencial do par linha+imagem — conceitos e dedução:
  • Potencial (por unidade de comprimento) de uma linha de carga com densidade linear \lambda a uma distância \rho do eixo da linha, no espaço bidimensional, é
\varphi(\rho)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\bigg(\frac{R_0}{\rho}\bigg),
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo e R_0 é uma constante de referência (não importa porque iremos subtrair potenciais).
  • Para o sistema real+imagem (carga \lambda a distância d do plano e imagem -\lambda a distância -d), o potencial em um ponto é a soma das contribuições. Escolhendo a referência de forma a cancelar as constantes, a diferença de potencial entre um ponto a distância r_1 da carga real e a imagem a distância r_2 é
\varphi=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\bigg(\frac{r_2}{r_1}\bigg).
  • No cilindro (superfície do condutor) aproximado como linha+raio pequeno, a distância ao eixo real é r_1=a (constante) e a distância característica à imagem é aproximadamente r_2\approx 2d quando d\gg a (a variação angular é pequena). Assim o potencial do cilindro em relação ao plano vale aproximadamente
V \approx \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\bigg(\frac{2d}{a}\bigg).
Aqui:
  • \,V\, é o potencial do cilindro (o plano está em 0),
  • \,\lambda\, é a densidade linear de carga do cilindro,
  • \,a\, é o raio do cilindro,
  • \,d\, é a distância entre o eixo do cilindro e o plano.
  • A capacitância por unidade de comprimento C' é definida por \,C'=\dfrac{\lambda}{V}\,. Substituindo a expressão de V,
C' \approx \frac{2\pi\varepsilon_0}{\ln\!\big(\dfrac{2d}{a}\big)}.

Passo 4

Verificação da hipótese d\gg a com os números dados:
  • Raio do cilindro:
a=\frac{6{,}99\\ \mathrm{cm}}{2}=3{,}495\\ \mathrm{cm}=0{,}03495\\ \mathrm{m}.
  • Distância ao plano: d=8{,}53\\ \mathrm{m}.
  • Razão:
\frac{d}{a}=\frac{8{,}53}{0{,}03495}\approx 244,
ou seja, d é cerca de 244 vezes maior que a. A aproximação d\gg a é perfeitamente válida.

Passo 5

Cálculo numérico de C':
  • Constante \varepsilon_0=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • Calcular o argumento do logaritmo:
\frac{2d}{a}=\frac{2\cdot 8{,}53}{0{,}03495}\approx 488{,}30.
  • Logaritmo natural:
\ln\!\bigg(\frac{2d}{a}\bigg)\approx \ln(488{,}30)\approx 6{,}18897.
  • Numerador 2\pi\varepsilon_0:
2\pi\varepsilon_0 \approx 2\pi\cdot 8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}\approx 5{,}5671\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.
  • Dividindo:
C' \approx \frac{5{,}5671\times10^{-11}}{6{,}18897}\\ \mathrm{F/m}\approx 8{,}99\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • Em unidades mais usuais:
C'\approx 8{,}99\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}\approx 8{,}99\\ \mathrm{pF/m}.

Passo 6

Interpretação final e dica para prova:
  • Resultado: C' é muito pequeno, da ordem de alguns pF por metro, o que faz sentido fisicamente: um fio fino longe de um plano tem baixa capacitância.
  • Dica prática: sempre verifique d\gg a antes de usar a fórmula aproximada \,C'\approx \dfrac{2\pi\varepsilon_0}{\ln(2d/a)}. Se d não for muito maior que a a aproximação falha e seria necessário resolver a geometria exata (método das imagens para cilindros finitos exige solução mais elaborada).

Resposta

\,C'\approx 8{,}99\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}\,

Exercícios relacionados