Encontre a capacitância por unidade comprimento entre um condutor cilídrico de diâmetro
e um plano condutor aterrado, paralelo ao eixo do cilindro e distante
dele.
Sugestão: Use o método das imagens com a condição:
(raio).
Passo 1
O enunciado pede a capacitância por unidade de comprimento entre um condutor cilíndrico e um plano condutor aterrado, paralelo ao eixo do cilindro. Dados fornecidos:
- Diâmetro do cilindro:
. - Distância entre o eixo do cilindro e o plano:
. - Sugestão: usar o método das imagens com a condição
(onde é o raio do cilindro).
O que se pede explicitamente: calcular a capacitância por unidade de comprimento
(unidades:
) entre o cilindro e o plano aterrado.
Passo 2
Ideia física (método das imagens) — explicação curta e intuitiva:
- Um plano condutor aterrado pode ser substituído, para o problema eletrostático, por uma “carga imagem” simétrica do outro lado do plano, tal que o plano fique em potencial zero.
- No caso de um fio cilíndrico longo paralelo ao plano, a imagem é um fio infinito com carga oposta, colocado à mesma distância do plano, do outro lado.
- Para simplificar ainda mais usando a hipótese
, aproximamos o cilindro por uma linha de carga localizada no seu eixo. Essa aproximação é válida porque o raio é muito menor que a distância ao plano, então a variação do potencial ao longo da superfície do cilindro por efeito da imagem é pequena.
Passo 3
Fórmula do potencial de uma linha de carga e potencial do par linha+imagem — conceitos e dedução:
- Potencial (por unidade de comprimento) de uma linha de carga com densidade linear
a uma distância do eixo da linha, no espaço bidimensional, é
onde
é a permissividade do vácuo e
é uma constante de referência (não importa porque iremos subtrair potenciais).
- Para o sistema real+imagem (carga
a distância do plano e imagem a distância ), o potencial em um ponto é a soma das contribuições. Escolhendo a referência de forma a cancelar as constantes, a diferença de potencial entre um ponto a distância da carga real e a imagem a distância é
- No cilindro (superfície do condutor) aproximado como linha+raio pequeno, a distância ao eixo real é
(constante) e a distância característica à imagem é aproximadamente quando (a variação angular é pequena). Assim o potencial do cilindro em relação ao plano vale aproximadamente
Aqui:
-
é o potencial do cilindro (o plano está em ), -
é a densidade linear de carga do cilindro, -
é o raio do cilindro, -
é a distância entre o eixo do cilindro e o plano. - A capacitância por unidade de comprimento
é definida por . Substituindo a expressão de ,
Passo 4
Verificação da hipótese
com os números dados:
- Raio do cilindro:
- Distância ao plano:
. - Razão:
ou seja,
é cerca de
vezes maior que
. A aproximação
é perfeitamente válida.
Passo 5
Cálculo numérico de
:
- Constante
. - Calcular o argumento do logaritmo:
- Logaritmo natural:
- Numerador
:
- Dividindo:
- Em unidades mais usuais:
Passo 6
Interpretação final e dica para prova:
- Resultado:
é muito pequeno, da ordem de alguns pF por metro, o que faz sentido fisicamente: um fio fino longe de um plano tem baixa capacitância. - Dica prática: sempre verifique
antes de usar a fórmula aproximada . Se não for muito maior que a aproximação falha e seria necessário resolver a geometria exata (método das imagens para cilindros finitos exige solução mais elaborada).