Calcule a capacitância de um capacitor plano com uma área de 1 m² e uma distância de 0,01 m entre as placas, usando materiais com constantes dielétricas diferentes.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra calcular a capacitância de um capacitor de placas paralelas com área A=1 m² e distância d=0,01 m, mas usando mais de um material dielétrico entre as placas. Isso cai em eletrostática de capacitores e na teoria de dielétricos. Vamos precisar da constante do vácuo ε₀ e das constantes relativas (permitividades) κᵢ de cada material, além de lembrar que dias dielétricos em série se comportam como capacitores em série.

Passo 2

Antes de tudo, se fosse só um material de constante κ, a capacitância seria
C = ε₀,κ,Ad,
Aqui ε₀≈8,85×10⁻¹² F/m. Isso vem de definir C=Q/V e resolver o campo uniforme entre placas.

Passo 3

Quando você tem dois (ou mais) materiais com espessuras d₁, d₂,… e constantes κ₁, κ₂,…, é como ter capacitores em série. A regra é
1C = d1ε₀,κ1,A + d2ε₀,κ2,A + cdots
Isso nasce de somar as quedas de potencial em cada região de espessura dᵢ.

Passo 4

No caso mais simples, pense em dois materiais que dividem igualmente a distância total, isto é,
d₁=d₂=\tfrac d2. Então
1C = tfrac d2ε₀,κ1,A ;+;tfrac d2ε₀,κ2,A = d2,ε₀,Al(1κ1+1κ2r)
Invertendo, chega-se a
C = 2,ε₀,κ1,κ2,Ad,l(κ1+κ2r),

Resposta

Para dois dielétricos iguais em espessura com constantes κ₁ e κ₂, a capacitância vale
boxed C = 2,ε₀,κ1,κ2,Ad,l(κ1+κ2r) ,

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