Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
(f) lim x +infty 5 x^3-6 x+16 x^2+x+3

Passo 1

Estamos calculando limxto+infty 5x^3 - 6x + 16x^2 + x + 3. Esse é um limite de função racional, e para resolver vamos precisar analisar o domínio (onde o denominador não zera) e usar o conceito de termo dominante para x grande.

Passo 2

Para achar o domínio, resolvemos 6x^2 + x + 3 = 0. O discriminante é De. Como não há raízes reais, o denominador nunca é zero e o domínio da função é todo o conjunto dos reais.

Passo 3

Como o grau do numerador (3) é maior que o do denominador (2), espera-se que a expressão cresça sem limite quando xto+infty. Para ver isso formalmente, dividimos num. e denom. pela maior potência de x presente no denominador, que é x^2.

Passo 4

Fazendo essa divisão, obtemos
5x^3 - 6x + 16x^2 + x + 3 = x^2l(5x - tfrac6x + tfrac1x^2r)x^2l(6 + tfrac1x + tfrac3x^2r) = x cdot 5 - tfrac6x^2 + tfrac1x^36 + tfrac1x + tfrac3x^2
À medida que xto+infty, todos os termos tfrac6x^2,tfrac1x^3,tfrac1x,tfrac3x^2 vão para zero. Logo a fração tende a tfrac56 e temos comportamento equivalente a xcdottfrac56, que cresce sem limite positivo.

Resposta

+infty

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