Calcule, caso exista
lim x 0^+(1+3 x)^1arctg(2 x)

Passo 1

O enunciado pede
limxto0^+(1+3x)^1arctg(2x)
Esse é um limite do tipo 1^infty. Para resolver usamos a estratégia de passar para a forma exponencial, ou seja, escrevemos a expressão como
expl(lnl((1+3x)^1/arctg(2x)r)r) =expl(ln(1+3x)arctg(2x)r)
Então precisamos calcular
L=limxto0^+ln(1+3x)arctg(2x)

Passo 2

Reconhecemos que, para xto0, temos os equivalentes
ln(1+3x)sim 3x e arctg(2x)sim 2x
Isso vem das expansões em série:
ln(1+u)=u+o(u), arctg(v)=v+o(v) (u,vto0)

Passo 3

Usando esses equivalentes dentro do quociente, obtemos
L =limxto0^+ln(1+3x)arctg(2x) simlimxto0^+3x2x =32

Passo 4

Como
(1+3x)^1arctg(2x) =expl(ln(1+3x)arctg(2x)r),
o limite original vale
exp(L) =expl(tfrac32r) =e^3/2

Resposta

e^3/2

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