8.3H Determine, se existir, a interseção entre os seguintes pares de curvas:
(d) theta=pi / 4 e r=2 cos theta

Passo 1

O enunciado pede para achar a interseção entre a reta em coordenadas polares theta=pi/4 e o círculo dado por r=2costheta. O conteúdo envolve curvas em coordenadas polares e a solução de um sistema de equações nessas variáveis.

Passo 2

Para um ponto estar na interseção, ele deve satisfazer simultaneamente
theta = pi4
e
r = 2costheta

Passo 3

Substituindo theta=pi/4 em r=2costheta obtemos
r = 2cosl(tfracpi4r) = 2cdotraiz22 = raiz2
Logo, em coordenadas polares o ponto de interseção é l(r,thetar)=(raiz2,pi/4).

Passo 4

Convertendo para coordenadas cartesianas temos
x = rcostheta = raiz2cdotraiz22=1, y = rsintheta = raiz2cdotraiz22=1
Portanto, o ponto é (1,1) em coordenadas cartesianas.

Resposta

Em polares: l(raiz2,pi/4r).
Em cartesianas: (1,1).

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