Calcule o comprimento das seguintes curvas dadas na forma polar:
(a) r=3 cos theta, 0 <= theta <= pi2

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva em coordenadas polares dada por r(theta)=3costheta para 0<=theta<=pi2. Vamos usar a fórmula do comprimento de arco em polares.

Passo 2

A fórmula geral é
L=integraltheta1^theta2raizr(theta)^2+l(r'(theta)r)^2,dtheta
Aqui temos r(theta)=3costheta, então
r'(theta)=-3sintheta
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r(theta)^2+l(r'(theta)r)^2 =9cos^2theta+9sin^2theta =9,
e a raiz é constante:
raiz9=3.

Passo 3

Substituindo na integral,
L=integral0^pi23,dtheta =3l[thetar]0^pi2 =3cdotpi2 =3pi2

Resposta

3pi2

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