Calcule, caso exista.
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+3}-x\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x^{2}+3}-x\bigr).
O conteúdo envolve limites com forma indeterminada \infty - \infty e precisamos usar a técnica de racionalização (conjugado).

Passo 2

Identificamos a forma indeterminada porque, quando x\to+\infty, temos \sqrt{x^{2}+3}\sim x, logo o termo \sqrt{x^{2}+3}-x tende a “infinito menos infinito”.

Passo 3

Para eliminar a indeterminação, multiplicamos e dividimos pela expressão conjugada \sqrt{x^{2}+3}+x:
\sqrt{x^{2}+3}-x =\frac{\bigl(\sqrt{x^{2}+3}-x\bigr)\bigl(\sqrt{x^{2}+3}+x\bigr)}{\sqrt{x^{2}+3}+x} =\frac{x^{2}+3 - x^{2}}{\sqrt{x^{2}+3}+x} =\frac{3}{\sqrt{x^{2}+3}+x}.

Passo 4

Agora analisamos o limite da forma simplificada:
\frac{3}{\sqrt{x^{2}+3}+x}.
Quando x\to+\infty, temos \sqrt{x^{2}+3}=x\sqrt{1+\tfrac{3}{x^{2}}}\sim x, logo o denominador cresce como x+x=2x. Portanto
\frac{3}{\sqrt{x^{2}+3}+x}\sim \frac{3}{2x}\to 0.

Resposta

0

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