Quantos são os anagramas da palavra PROBABILIDADE em que pelo menos uma das três letras iniciais permanece na sua posição original?
Passo 1
O enunciado pede o número de anagramas da palavra “PROBABILIDADE” (13 letras, com repetições: duas letras B, A, I e D) em que pelo menos uma das três primeiras posições mantenha a mesma letra original (posição
P, posição
R, posição
O). Vamos modelar isso como permutações de um multiconjunto com restrições de posição e usar o Princípio da Inclusão-Exclusão.
Passo 2
Sem restrições, o total de anagramas é
pois há 13 letras e as letras B, A, I e D aparecem duas vezes cada.
Passo 3
Definimos os eventos:
– : P em posição 1;
– : R em posição 2;
– : O em posição 3.
Se fixamos um desses eventos, resta permutar 12 letras com as mesmas quatro letras duplicadas, logo
–
–
–
Se fixamos um desses eventos, resta permutar 12 letras com as mesmas quatro letras duplicadas, logo
para
.
Passo 4
Se fixamos dois desses eventos simultaneamente (por exemplo P em 1 e R em 2), restam 11 letras com as quatro duplicações, logo
para quaisquer
em
.
Passo 5
Se fixamos os três eventos (P em 1, R em 2 e O em 3), restam 10 letras com as quatro duplicações, então
Passo 6
Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, o número de permutações com pelo menos um dos eventos é
Calculando os fatoriais e sabendo que
:
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Resposta
82555200