Quantos são os anagramas da palavra PROBABILIDADE em que pelo menos uma das três letras iniciais permanece na sua posição original?

Passo 1

O enunciado pede o número de anagramas da palavra “PROBABILIDADE” (13 letras, com repetições: duas letras B, A, I e D) em que pelo menos uma das três primeiras posições mantenha a mesma letra original (posição 1=P, posição 2=R, posição 3=O). Vamos modelar isso como permutações de um multiconjunto com restrições de posição e usar o Princípio da Inclusão-Exclusão.

Passo 2

Sem restrições, o total de anagramas é
N_{\text{total}} \;=\;\frac{13!}{(2!)^4},
pois há 13 letras e as letras B, A, I e D aparecem duas vezes cada.

Passo 3

Definimos os eventos:
A_1: P em posição 1;
A_2: R em posição 2;
A_3: O em posição 3.
Se fixamos um desses eventos, resta permutar 12 letras com as mesmas quatro letras duplicadas, logo
|A_i| \;=\;\frac{12!}{(2!)^4},
para i=1,2,3.

Passo 4

Se fixamos dois desses eventos simultaneamente (por exemplo P em 1 e R em 2), restam 11 letras com as quatro duplicações, logo
|A_i\cap A_j| \;=\;\frac{11!}{(2!)^4},
para quaisquer i<j em \{1,2,3\}.

Passo 5

Se fixamos os três eventos (P em 1, R em 2 e O em 3), restam 10 letras com as quatro duplicações, então
|A_1\cap A_2\cap A_3| \;=\;\frac{10!}{(2!)^4}.

Passo 6

Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, o número de permutações com pelo menos um dos eventos é
|A_1\cup A_2\cup A_3| =3\cdot\frac{12!}{(2!)^4} -3\cdot\frac{11!}{(2!)^4} +\frac{10!}{(2!)^4}.
Calculando os fatoriais e sabendo que (2!)^4=16:
\frac{12!}{16}=29\,937\,600, \quad \frac{11!}{16}=2\,494\,800, \quad \frac{10!}{16}=226\,800,
logo
3\cdot29\,937\,600 \;-\;3\cdot2\,494\,800 \;+\;226\,800 =82\,555\,200.

Resposta

82555200

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