Calcule, caso exista:
Passo 1
O enunciado pede para calcular, se existir, o limite
Informações dadas:
e
são variáveis reais e a expressão é
.
A aproximação é feita pelo ponto no plano
.
A tarefa é dizer se o limite existe e, em caso afirmativo, qual é o seu valor.
A aproximação é feita pelo ponto
A tarefa é dizer se o limite existe e, em caso afirmativo, qual é o seu valor.
Passo 2
Observação direta e intuição: a função
é uma combinação de somas e produtos de funções simples em
e
(por exemplo,
e
). Essas operações preservam a continuidade, então
é contínua em todo
. Para funções contínuas, o limite no ponto é o valor da função nesse ponto. Aqui,
então pela continuidade esperaríamos
Vou agora transformar essa boa intuição em uma demonstração detalhada e rigorosa (epsilon–delta) para você poder aplicar no exame.
Passo 3
Intuição por caminhos (para você ver que todas as trilhas dão o mesmo resultado):
- Se
, então e . - Se
, então para todo . - Se
com constante , então e .
Esses exemplos mostram que várias curvas que vão ao pontoproduzem limite . Mas para garantir existência do limite para todas as maneiras de chegar ao ponto precisamos de uma prova geral (epsilon–delta), que vem a seguir.
Passo 4
Preparação para a prova epsilon–delta: definimos a distância ao ponto
por
Queremos mostrar que, dado
, existe
tal que sempre que
(isto é,
está num disco de raio
ao redor de
), então
.
Passo 5
Desenvolvendo a desigualdade que vamos controlar:
Usamos desigualdades básicas:
Multiplicando,
Agora ligamos
à distância
. Note que
pois
. Assim
Passo 6
Escolha de
: dado
, queremos
. Basta garantir
Portanto tomamos
Então, sempre que
teremos
e, pelas desigualdades anteriores,
Isso completa a prova epsilon–delta de que o limite é
.
Passo 7
Conclusão: mostramos por argumento de continuidade e demos uma prova epsilon–delta rigorosa. Pelo que foi demonstrado, o limite existe e vale
.