Calcule, caso exista:
\lim_{(x, y) \rightarrow(0,0)} x^{2}-y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular, se existir, o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x^{2}-y^{2}.
Informações dadas:
\;x e \;y são variáveis reais e a expressão é \;x^{2}-y^{2}.
A aproximação é feita pelo ponto (0,0) no plano \mathbb{R}^{2}.
A tarefa é dizer se o limite existe e, em caso afirmativo, qual é o seu valor.

Passo 2

Observação direta e intuição: a função f(x,y)=x^{2}-y^{2} é uma combinação de somas e produtos de funções simples em x e y (por exemplo, x\mapsto x e x\mapsto x^{2}). Essas operações preservam a continuidade, então f é contínua em todo \mathbb{R}^{2}. Para funções contínuas, o limite no ponto é o valor da função nesse ponto. Aqui,
f(0,0)=0^{2}-0^{2}=0,
então pela continuidade esperaríamos
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x^{2}-y^{2}=0.
Vou agora transformar essa boa intuição em uma demonstração detalhada e rigorosa (epsilon–delta) para você poder aplicar no exame.

Passo 3

Intuição por caminhos (para você ver que todas as trilhas dão o mesmo resultado):
  • Se y=0, então x^{2}-y^{2}=x^{2} e \lim_{x\to0} x^{2}=0.
  • Se y=x, então x^{2}-y^{2}=x^{2}-x^{2}=0 para todo x.
  • Se y=kx com constante k, então x^{2}-y^{2}=x^{2}-k^{2}x^{2}=(1-k^{2})x^{2} e \lim_{x\to0}(1-k^{2})x^{2}=0.
    Esses exemplos mostram que várias curvas que vão ao ponto (0,0) produzem limite 0. Mas para garantir existência do limite para todas as maneiras de chegar ao ponto precisamos de uma prova geral (epsilon–delta), que vem a seguir.

Passo 4

Preparação para a prova epsilon–delta: definimos a distância ao ponto (0,0) por
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Queremos mostrar que, dado \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que sempre que \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta (isto é, (x,y) está num disco de raio \delta ao redor de (0,0)), então |x^{2}-y^{2}-0|<\varepsilon.

Passo 5

Desenvolvendo a desigualdade que vamos controlar:
|x^{2}-y^{2}| = |x-y|\,|x+y|.
Usamos desigualdades básicas:
|x-y|\le |x|+|y|,\qquad |x+y|\le |x|+|y|.
Multiplicando,
|x^{2}-y^{2}| \le (|x|+|y|)^{2}.
Agora ligamos |x|+|y| à distância r. Note que
(|x|+|y|)^{2} = x^{2}+y^{2}+2|xy|\le x^{2}+y^{2}+x^{2}+y^{2}=2(x^{2}+y^{2}),
pois 2|xy|\le x^{2}+y^{2}. Assim
|x^{2}-y^{2}| \le (|x|+|y|)^{2} \le 2(x^{2}+y^{2}) = 2r^{2}.

Passo 6

Escolha de \delta: dado \varepsilon>0, queremos 2r^{2}<\varepsilon. Basta garantir
r < \sqrt{\frac{\varepsilon}{2}}.
Portanto tomamos
\delta = \sqrt{\frac{\varepsilon}{2}}.
Então, sempre que \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta teremos r<\sqrt{\varepsilon/2} e, pelas desigualdades anteriores,
|x^{2}-y^{2}| \le 2r^{2} < 2\left(\sqrt{\frac{\varepsilon}{2}}\right)^{2} = \varepsilon.
Isso completa a prova epsilon–delta de que o limite é 0.

Passo 7

Conclusão: mostramos por argumento de continuidade e demos uma prova epsilon–delta rigorosa. Pelo que foi demonstrado, o limite existe e vale 0.

Resposta

0

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