Calcule, caso exista:
\lim_{(x, y) \rightarrow(0,0)} x^{2}+y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular, se existir, o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x^{2}+y^{2}.
Informações dadas: a função considerada é f(x,y)=x^{2}+y^{2} definida em todos os pontos (x,y) do plano. A pergunta é: qual é o valor do limite quando o par (x,y) se aproxima de (0,0)?

Passo 2

Vamos lembrar com clareza o que significa o limite em duas variáveis. Dizemos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L
se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, então |f(x,y)-L|<\varepsilon. Aqui:
  • \varepsilon é a precisão que queremos na resposta (quão perto de L devemos ficar);
  • \delta é o raio do disco centrado em (0,0) dentro do qual todos os valores de f ficam a menos de \varepsilon de L;
  • \sqrt{x^{2}+y^{2}} é a distância do ponto (x,y) até a origem (0,0).

Passo 3

Primeira intuição: se eu plugo exatamente (x,y)=(0,0) tenho f(0,0)=0^{2}+0^{2}=0. É natural conjecturar que o limite seja L=0. Uma verificação simples por caminhos ajuda a ver que isso faz sentido: por exemplo, ao aproximar pela reta y=mx obtemos
x^{2}+y^{2}=x^{2}+m^{2}x^{2}=x^{2}(1+m^{2})\to 0\quad\text{quando }x\to 0.
Isso mostra que por muitos caminhos (todas as retas) o valor tende a 0. Mas atenção: checar só alguns caminhos não prova o limite; precisamos de um argumento que funcione para qualquer maneira de chegar em (0,0).

Passo 4

Construímos uma prova \varepsilon- \delta direta e simples. Queremos mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, então
\bigl|x^{2}+y^{2}-0\bigr|=x^{2}+y^{2}<\varepsilon.
Observe que x^{2}+y^{2}=\bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr)^{2}. Portanto, se exigirmos que \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, teremos
x^{2}+y^{2}<\delta^{2}.
Então basta escolher \delta de modo que \delta^{2}=\varepsilon, ou seja, tomar
\delta=\sqrt{\varepsilon}.
Com essa escolha: para qualquer \varepsilon>0, sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta=\sqrt{\varepsilon} segue que x^{2}+y^{2}<\delta^{2}=\varepsilon. Isso atende exatamente à definição de limite, com L=0.

Passo 5

Como alternativa intuitiva (útil para ganhar intuição), podemos usar coordenadas polares: escrevendo x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, temos
x^{2}+y^{2}=r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=r^{2}.
Quando (x,y)\to(0,0) isso corresponde a r\to 0, logo x^{2}+y^{2}=r^{2}\to 0. Essa é a mesma conclusão, vista de outro ângulo.

Resposta

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