Calcule, caso exista: \lim_{(x, y) \rightarrow(0,0)} x^{2}+y^{2}
Passo 1
O enunciado pede para calcular, se existir, o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x^{2}+y^{2}.
Informações dadas: a função considerada é f(x,y)=x^{2}+y^{2} definida em todos os pontos (x,y) do plano. A pergunta é: qual é o valor do limite quando o par (x,y) se aproxima de (0,0)?
Passo 2
Vamos lembrar com clareza o que significa o limite em duas variáveis. Dizemos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L
se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, então |f(x,y)-L|<\varepsilon. Aqui:
\varepsilon é a precisão que queremos na resposta (quão perto de L devemos ficar);
\delta é o raio do disco centrado em (0,0) dentro do qual todos os valores de f ficam a menos de \varepsilon de L;
\sqrt{x^{2}+y^{2}} é a distância do ponto (x,y) até a origem (0,0).
Passo 3
Primeira intuição: se eu plugo exatamente (x,y)=(0,0) tenho f(0,0)=0^{2}+0^{2}=0. É natural conjecturar que o limite seja L=0. Uma verificação simples por caminhos ajuda a ver que isso faz sentido: por exemplo, ao aproximar pela reta y=mx obtemos
Isso mostra que por muitos caminhos (todas as retas) o valor tende a 0. Mas atenção: checar só alguns caminhos não prova o limite; precisamos de um argumento que funcione para qualquer maneira de chegar em (0,0).
Passo 4
Construímos uma prova \varepsilon-\delta direta e simples. Queremos mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, então
Observe que x^{2}+y^{2}=\bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr)^{2}. Portanto, se exigirmos que \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, teremos
x^{2}+y^{2}<\delta^{2}.
Então basta escolher \delta de modo que \delta^{2}=\varepsilon, ou seja, tomar
\delta=\sqrt{\varepsilon}.
Com essa escolha: para qualquer \varepsilon>0, sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta=\sqrt{\varepsilon} segue que x^{2}+y^{2}<\delta^{2}=\varepsilon. Isso atende exatamente à definição de limite, com L=0.
Passo 5
Como alternativa intuitiva (útil para ganhar intuição), podemos usar coordenadas polares: escrevendo x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, temos