Determine o conjunto dos pontos de descontinuidade das funções a seguir e justifique sua resposta.
f(x, y)=\frac{x-y}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto dos pontos de descontinuidade da função
f(x,y)=\frac{x-y}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}
Lista das informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{a função é }f(x,y)=\frac{x-y}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}.çãé
Devemos identificar onde essa função é descontínua (ou seja, onde ela não é contínua) no plano \mathbb{R}^2. Não vamos resolver ainda — apenas registrei o que foi pedido e qual é a fórmula.

Passo 2

Determinar o domínio onde a função está definida (informação essencial).
A raiz quadrada \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} exige que o argumento seja não negativo:
1-x^{2}-y^{2}\ge 0.
Além disso, como esse termo aparece no denominador, precisamos excluir os zeros do denominador:
\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\neq 0 \iff 1-x^{2}-y^{2}\neq 0.
Combinando essas duas condições, o domínio D da função (onde f está realmente definida como número real) é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}<1\},
ou seja, o disco aberto de raio 1 centrado na origem.

Passo 3

Mostrar que f é contínua em todos os pontos do domínio D.
Lembrete prático (fórmula/teorema usado): polinômios e funções elementares como a raiz quadrada são contínuas em seus domínios; soma, subtração, produto e quociente de funções contínuas são contínuas onde o denominador não é zero.
Aplicando isso:
  • A função (x,y)\mapsto x-y é um polinômio em x,y, logo contínua em \mathbb{R}^2.
  • A função (x,y)\mapsto 1-x^{2}-y^{2} é contínua em \mathbb{R}^2.
  • A função (x,y)\mapsto \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} é contínua em todo ponto onde 1-x^{2}-y^{2}>0, isto é, em D.
  • Como no domínio D o denominador não é zero, o quociente
f(x,y)=\frac{x-y}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}
é contínuo em cada ponto de D.
Conclusão parcial: não há descontinuidade em nenhum ponto interior do disco \{x^{2}+y^{2}<1\}.

Passo 4

Analisar os pontos da fronteira \{(x,y):x^{2}+y^{2}=1\}.
Esses pontos não pertencem ao domínio (denominador é zero), então f não está definida neles. Para decidir se são pontos de descontinuidade (considerando a função como função real em \mathbb{R}^2), examinamos os limites ao nos aproximarmos desses pontos pelo domínio.
Sejam (x_{0},y_{0}) tais que x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=1. Use coordenadas polares para clareza: escreva x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Para um ponto da fronteira temos r\to 1^{-} e \theta\to\theta_{0} tal que (x_{0},y_{0})=(\cos\theta_{0},\sin\theta_{0}).
A função fica
f(r,\theta)=\frac{r(\cos\theta-\sin\theta)}{\sqrt{1-r^{2}}}.
  • Se \cos\theta_{0}-\sin\theta_{0}\neq 0: tomar a aproximação radial com \theta=\theta_{0} fixo e r\to 1^{-}. Neste caminho o numerador tende a \cos\theta_{0}-\sin\theta_{0}\neq 0 enquanto o denominador tende a 0^{+}. Portanto |f(r,\theta_{0})|\to +\infty e não existe limite finito. Logo (x_{0},y_{0}) é ponto de descontinuidade.

Passo 5

Tratar o caso especial onde \cos\theta_{0}-\sin\theta_{0}=0.
Essa igualdade ocorre quando \theta_{0}=\pi/4 ou \theta_{0}=5\pi/4, correspondendo aos pontos
\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\quad\text{e}\quad\left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)
da circunferência unitária.
Mostramos que nesses pontos também não existe limite ao aproximar-se pelo domínio:
  • Aproximação 1 (reta radial): fixe \theta=\theta_{0}. Então \cos\theta-\sin\theta=0 para todo r, logo f(r,\theta_{0})=0 para todo r — o limite ao longo desse caminho é 0.
  • Aproximação 2 (ângulo diferente): fixe \theta=\theta_{1}\neq\theta_{0} e faça r\to 1^{-}. Então \cos\theta_{1}-\sin\theta_{1}\neq 0 e novamente o denominador tende a 0, fazendo |f(r,\theta_{1})|\to +\infty. Assim ao longo desse segundo caminho o comportamento é divergente.
Como dois caminhos de aproximação do mesmo ponto dão comportamentos diferentes (um tende a 0, outro diverge), o limite não existe. Portanto esses pontos da circunferência também são pontos de descontinuidade.

Passo 6

Analisar os pontos com x^{2}+y^{2}>1.
Para tais pontos o argumento da raiz é negativo, \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} não é real, logo a função não está definida como função real nesses pontos. Se estamos tratando f como função real f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} cujo domínio é o conjunto onde a fórmula faz sentido, então qualquer ponto fora do disco (isto é, com x^{2}+y^{2}\ge 1) não pertence ao domínio e, portanto, não é ponto de continuidade da função em \mathbb{R}^2.

Passo 7

Juntando tudo:
  • f é contínua em todo o disco aberto \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}<1\}.
  • Em toda a circunferência \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=1\} o limite pela região interior não existe (ou diverge), logo esses pontos são de descontinuidade.
  • Fora do disco (isto é, \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}>1\}) a função não está definida em \mathbb{R}, então também não é contínua nesses pontos.
Portanto o conjunto de pontos onde a função não é contínua (considerando a função como função real no plano) é a complementação do domínio \{x^{2}+y^{2}<1\}, ou seja, o conjunto
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}\ge 1\}.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}\ge 1\}

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