Determine o conjunto dos pontos de descontinuidade das funções a seguir e justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o conjunto dos pontos de descontinuidade da função
Lista das informações relevantes dadas pelo enunciado:
Devemos identificar onde essa função é descontínua (ou seja, onde ela não é contínua) no plano
. Não vamos resolver ainda — apenas registrei o que foi pedido e qual é a fórmula.
Passo 2
Determinar o domínio onde a função está definida (informação essencial).
A raiz quadrada exige que o argumento seja não negativo:
A raiz quadrada
Além disso, como esse termo aparece no denominador, precisamos excluir os zeros do denominador:
Combinando essas duas condições, o domínio
da função (onde
está realmente definida como número real) é
ou seja, o disco aberto de raio
centrado na origem.
Passo 3
Mostrar que
é contínua em todos os pontos do domínio
.
Lembrete prático (fórmula/teorema usado): polinômios e funções elementares como a raiz quadrada são contínuas em seus domínios; soma, subtração, produto e quociente de funções contínuas são contínuas onde o denominador não é zero.
Lembrete prático (fórmula/teorema usado): polinômios e funções elementares como a raiz quadrada são contínuas em seus domínios; soma, subtração, produto e quociente de funções contínuas são contínuas onde o denominador não é zero.
Aplicando isso:
- A função
é um polinômio em , logo contínua em . - A função
é contínua em . - A função
é contínua em todo ponto onde , isto é, em . - Como no domínio
o denominador não é zero, o quociente
é contínuo em cada ponto de
.
Conclusão parcial: não há descontinuidade em nenhum ponto interior do disco
.
Passo 4
Analisar os pontos da fronteira
.
Esses pontos não pertencem ao domínio (denominador é zero), então não está definida neles. Para decidir se são pontos de descontinuidade (considerando a função como função real em
), examinamos os limites ao nos aproximarmos desses pontos pelo domínio.
Esses pontos não pertencem ao domínio (denominador é zero), então
Sejam
tais que
. Use coordenadas polares para clareza: escreva
,
. Para um ponto da fronteira temos
e
tal que
.
A função fica
- Se
: tomar a aproximação radial com fixo e . Neste caminho o numerador tende a enquanto o denominador tende a . Portanto e não existe limite finito. Logo é ponto de descontinuidade.
Passo 5
Tratar o caso especial onde
.
Essa igualdade ocorre quando ou
, correspondendo aos pontos
Essa igualdade ocorre quando
da circunferência unitária.
Mostramos que nesses pontos também não existe limite ao aproximar-se pelo domínio:
- Aproximação 1 (reta radial): fixe
. Então para todo , logo para todo — o limite ao longo desse caminho é . - Aproximação 2 (ângulo diferente): fixe
e faça . Então e novamente o denominador tende a , fazendo . Assim ao longo desse segundo caminho o comportamento é divergente.
Como dois caminhos de aproximação do mesmo ponto dão comportamentos diferentes (um tende a
, outro diverge), o limite não existe. Portanto esses pontos da circunferência também são pontos de descontinuidade.
Passo 6
Analisar os pontos com
.
Para tais pontos o argumento da raiz é negativo, não é real, logo a função não está definida como função real nesses pontos. Se estamos tratando
como função real
cujo domínio é o conjunto onde a fórmula faz sentido, então qualquer ponto fora do disco (isto é, com
) não pertence ao domínio e, portanto, não é ponto de continuidade da função em
.
Para tais pontos o argumento da raiz é negativo,
Passo 7
Juntando tudo:
-
é contínua em todo o disco aberto . - Em toda a circunferência
o limite pela região interior não existe (ou diverge), logo esses pontos são de descontinuidade. - Fora do disco (isto é,
) a função não está definida em , então também não é contínua nesses pontos.
Portanto o conjunto de pontos onde a função não é contínua (considerando a função como função real no plano) é a complementação do domínio
, ou seja, o conjunto