Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
\text { g) } \lim _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{x^{2}-2 x+1}{x-1} \

Passo 1

Vamos deixar claro o que o enunciado pede e o que ele dá. O enunciado solicita o valor do limite unilateral pela direita
\lim_{x\to 2^{+}} \frac{x^{2}-2x+1}{x-1}.
Informações relevantes:
  • A expressão a ser analisada é a função racional \dfrac{x^{2}-2x+1}{x-1}.
  • O ponto de interesse é x=2, aproximando-se pela direita (isto é, por valores de x maiores que 2).
  • Deve-se verificar se o limite existe e, caso exista, calcular o seu valor.

Passo 2

Observação algébrica importante: reconhecer a forma do numerador. O polinômio x^{2}-2x+1 é um quadrado perfeito. Para ver isso, nota-se que
x^{2}-2x+1 = (x-1)^{2}.
Explicando devagar: ao expandir (x-1)^{2} obtém-se x^{2}-2x+1. Essa é uma técnica muito útil na prova — identificar quadrados perfeitos ou fatorizações comuns para simplificar frações.

Passo 3

Usando a fatoração encontrada, escrevemos a expressão do limite em forma simplificada:
\frac{x^{2}-2x+1}{x-1}=\frac{(x-1)^{2}}{x-1}.
Para x\neq 1 pode-se cancelar um fator (x-1) no numerador e no denominador, obtendo
\frac{(x-1)^{2}}{x-1}=x-1\qquad (x\neq 1).
Observação importante: a simplificação não é válida em x=1 (pois a expressão original está indefinida em x=1), mas como estamos calculando o limite quando x\to 2^{+}, a vizinhança de 2 não inclui x=1, então a simplificação é legítima para analisar o limite.

Passo 4

Agora o limite fica simples de calcular. Substituindo a expressão simplificada:
\lim_{x\to 2^{+}} \frac{x^{2}-2x+1}{x-1}=\lim_{x\to 2^{+}} (x-1).
A função x-1 é uma função polinomial (na verdade afim) e, portanto, contínua em todo ponto. Para limites em pontos onde a função é contínua, o limite é o valor da função no ponto. Logo,
\lim_{x\to 2^{+}} (x-1)=2-1=1.
Comentário extra para tranquilizar: como a expressão simplificada é contínua numa vizinhança de 2, o limite pela direita vale o mesmo que o limite bilateral e que o valor da função simplificada em x=2.

Passo 5

Alternativa rápida (verificação): podia-se também observar diretamente na expressão original que, avaliando em x=2, o denominador fica 2-1=1\neq 0, então a função original é contínua em x=2 e o limite é simplesmente
\frac{2^{2}-2\cdot 2+1}{2-1}=\frac{4-4+1}{1}=\frac{1}{1}=1,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

1

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