Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
\lim _{x \rightarrow 2} {g(x)-g(2)}\) em que \(g(x)= \begin{cases}x & \text { se } x \geqslant 2 \\\ x^{2} & \text { se } x<2\end{cases}

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que é dado.
  • O enunciado pede calcular o limite \displaystyle\lim_{x\to 2} \bigl(g(x)-g(2)\bigr)\), ou então justificar por que esse limite não existe. - A função \(g\) é dada por \[g(x)=\begin{cases} x & \text{se } x\ge 2,\\[4pt] x^{2} & \text{se } x<2. \end{cases}
  • Informação imediata: pelo enunciado, g(2)\] é o valor definido pelo ramo \(x (já que x\ge2 inclui x=2). Portanto g(2)=2.]

Passo 2

Lembrete útil sobre limites (passo didático curto): para que \displaystyle\lim_{x\to 2} h(x) exista, as duas limites unilaterais devem existir e ser iguais:
\lim_{x\to 2^-} h(x)\quad\text{e}\quad\lim_{x\to 2^+} h(x)
Se forem diferentes, o limite \lim_{x\to 2} h(x) não existe. Aqui h(x)=g(x)-g(2).

Passo 3

Substituindo g(2) que já identificamos:
g(2)=2,
logo a quantidade cujo limite queremos é
g(x)-g(2)=g(x)-2.
Para avaliar \lim_{x\to 2} (g(x)-2) vamos calcular os limites laterais \lim_{x\to2^-}(g(x)-2) e \lim_{x\to2^+}(g(x)-2).

Passo 4

Cálculo do limite pela direita ( x\to 2^+). Para x>2 (e também para x=2) vale o ramo g(x)=x. Portanto, para x\to 2^+,
g(x)-2 = x-2.
Tomando o limite:
\lim_{x\to 2^+} \bigl(g(x)-2\bigr)=\lim_{x\to 2^+} (x-2)=0,
pois x-2 tende a 0 quando x\to2.

Passo 5

Cálculo do limite pela esquerda ( x\to 2^-). Para x<2 vale o ramo g(x)=x^{2}. Portanto, para x\to 2^-,
g(x)-2 = x^{2}-2.
Tomando o limite:
\lim_{x\to 2^-} \bigl(g(x)-2\bigr)=\lim_{x\to 2^-} (x^{2}-2)=2,
pois x^{2} tende a 2^{2}=4 quando x\to2, e 4-2=2.

Passo 6

Comparação das duas limites unilaterais:
\lim_{x\to 2^-} \bigl(g(x)-2\bigr)=2 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 2^+} \bigl(g(x)-2\bigr)=0.
Como 2\neq 0, os limites laterais são diferentes. Pela definição de limite, isso implica que o limite \displaystyle\lim_{x\to 2} \bigl(g(x)-g(2)\bigr) NÃO existe.

Passo 7

Dica rápida para a prova (didático e prático): quando a função é peça-por-peça com pontos de mudança em x=2, sempre calcule os limites laterais separadamente usando o ramo correspondente; se os resultados forem iguais, esse é o limite; se forem diferentes, o limite não existe. Aqui deu físico: à direita a diferença vai para 0, à esquerda para 2, então não existe continuidade na quantidade pedida.

Resposta

O limite não existe.

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