QUESTÃO EXTRA
Determine se a série é convergente
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente, onde
é um parâmetro real.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A sequência geral da série é
. - Deve-se analisar a convergência dependendo do valor de
(ou seja: para quais a série converge e para quais diverge).
Passo 2
Estratégia e ferramentas que vou usar (explicando didaticamente):
- Para séries de termos positivos costuma-se usar comparação assintótica com uma série conhecida, a chamada série-p (p-series). A série-p é
e ela converge se, e somente se,
. Por exemplo,
(caso
) diverge;
(caso
) converge.
- Outro fato útil: se
e e
com
, então as séries
e
têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem). Isso é o Teste da Comparação por Limite (limit comparison test). Vou usar isso comparando
com uma potência simples de
.
Passo 3
Identificar a série de comparação natural pelo comportamento para
grande. Quando
é grande,
é dominado por
(se
), então heurística sugere
Isto é, a série se comporta como
. Reescrevendo,
portanto é uma série-p com expoente
. Pela regra da série-p,
converge se, e somente se,
, isto é, se
. Vou tornar isso rigoroso com o teste da comparação por limite.
Passo 4
Aplicando o teste da comparação por limite para
. Tome
. Calcule
Agora o limite:
sempre que
(porque
e o termo constante
fica desprezível). Como o limite é
, o teste da comparação por limite diz que
e
têm o mesmo comportamento para todo
. Portanto, para
a série converge exatamente quando
converge, ou seja, quando
. Conclusão parcial:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge (já que então diverge).
Passo 5
Tratar o caso
separadamente (porque acima usei
). Se
, então
para todo
. Assim
portanto
A série
diverge porque é (constante positiva vezes)
, e
diverge claramente (termos não tendem a zero e são do tipo potência com expoente
negativo no sentido de séries p com
). Pelo teste da comparação direta, se uma série de termos maiores diverge, então a original também diverge. Logo, para todo
a série diverge.
Passo 6
Juntando os casos:
- Para
: converge (por limit comparison com e condição da série-p). - Para
: diverge (limit comparison com , que diverge). - Para
: diverge (porque e diverge).
Portanto a série converge exatamente quando
.
Resposta
A série converge se, e somente se,
.