QUESTÃO EXTRA

Determine se a série é convergente \sum \frac{n^{2}}{n^{x}+3}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{n^{x}+3} é convergente, onde x é um parâmetro real.
Informações fornecidas:
  • A sequência geral da série é a_{n}=\dfrac{n^{2}}{n^{x}+3}.
  • Deve-se analisar a convergência dependendo do valor de x (ou seja: para quais x a série converge e para quais diverge).

Passo 2

Estratégia e ferramentas que vou usar (explicando didaticamente):
  • Para séries de termos positivos costuma-se usar comparação assintótica com uma série conhecida, a chamada série-p (p-series). A série-p é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}},
e ela converge se, e somente se, \;p>1. Por exemplo, \sum 1/n (caso p=1) diverge; \sum 1/n^{2} (caso p=2) converge.
  • Outro fato útil: se a_{n}>0 e b_{n}>0 e
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=L
com 0<L<\infty, então as séries \sum a_{n} e \sum b_{n} têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem). Isso é o Teste da Comparação por Limite (limit comparison test). Vou usar isso comparando a_{n} com uma potência simples de n.

Passo 3

Identificar a série de comparação natural pelo comportamento para n grande. Quando n é grande, n^{x}+3 é dominado por n^{x} (se x>0), então heurística sugere
\frac{n^{2}}{n^{x}+3}\sim n^{2-x}.
Isto é, a série se comporta como \sum n^{2-x}. Reescrevendo,
n^{2-x}=n^{-(x-2)},
portanto é uma série-p com expoente p=x-2. Pela regra da série-p, \sum n^{2-x} converge se, e somente se, x-2>1, isto é, se x>3. Vou tornar isso rigoroso com o teste da comparação por limite.

Passo 4

Aplicando o teste da comparação por limite para x>0. Tome b_{n}=n^{2-x}. Calcule
\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{\dfrac{n^{2}}{n^{x}+3}}{n^{2-x}} =\frac{n^{2}}{n^{x}+3}\cdot n^{x-2} =\frac{n^{x}}{n^{x}+3}.
Agora o limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{x}}{n^{x}+3}=1
sempre que x>0 (porque n^{x}\to\infty e o termo constante 3 fica desprezível). Como o limite é 1\in(0,\infty), o teste da comparação por limite diz que \sum a_{n} e \sum b_{n}=\sum n^{2-x} têm o mesmo comportamento para todo x>0. Portanto, para x>0 a série converge exatamente quando \sum n^{2-x} converge, ou seja, quando x>3. Conclusão parcial:
  • Se x>3, a série \sum \dfrac{n^{2}}{n^{x}+3} converge.
  • Se 0<x\leq 3, a série diverge (já que então \sum n^{2-x} diverge).

Passo 5

Tratar o caso x\leq 0 separadamente (porque acima usei n^{x}\to\infty). Se x\leq 0, então n^{x}\leq 1 para todo n\geq 1. Assim
n^{x}+3\leq 1+3=4,
portanto
a_{n}=\frac{n^{2}}{n^{x}+3}\geq \frac{n^{2}}{4}.
A série \sum \dfrac{n^{2}}{4} diverge porque é (constante positiva vezes) \sum n^{2}, e \sum n^{2} diverge claramente (termos não tendem a zero e são do tipo potência com expoente -2 negativo no sentido de séries p com p=-2). Pelo teste da comparação direta, se uma série de termos maiores diverge, então a original também diverge. Logo, para todo x\leq 0 a série diverge.

Passo 6

Juntando os casos:
  • Para x>3: converge (por limit comparison com \sum n^{2-x} e condição da série-p).
  • Para 0<x\leq 3: diverge (limit comparison com \sum n^{2-x}, que diverge).
  • Para x\leq 0: diverge (porque a_{n}\geq n^{2}/4 e \sum n^{2} diverge).
Portanto a série converge exatamente quando x>3.

Resposta

A série converge se, e somente se, x>3.

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