Calcule, caso existam, os limites abaixo \lim _{x \rightarrow 1-} \frac{1-x}{|1-x|}
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
Dado o limite lateral \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{1-x}{|1-x|}.
Pede-se calcular esse limite (se existir).
Observação importante: \displaystyle x\rightarrow 1^- significa que x aproxima-se de 1 vindo pela esquerda, ou seja, por valores com x<1.
Passo 2
Recordando o significado do valor absoluto e como usá‑lo aqui:
Para qualquer número real u\) vale a definição por partes
\[|u|=\begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
No nosso caso (u=1-x]. Então |1-x|=\begin{cases} 1-x, & \text{se } 1-x\ge 0\\ (\text{i.e. } x\le 1),\\[4pt] -(1-x)=x-1, & \text{se } 1-x<0\\ (\text{i.e. } x>1). \end{cases}]
Passo 3
Aplicando a definição ao limite lateral pedido:
Como estamos calculando \displaystyle \lim_{x\to 1^-}, consideramos x<1 (próximo de 1 pela esquerda). Para esses x temos 1-x>0, logo |1-x|=1-x.
Substituindo no quociente para x<1 (e x\neq1) obtemos
\frac{1-x}{|1-x|}=\frac{1-x}{1-x}=1.
Ou seja, em todo um intervalo à esquerda de 1 (por exemplo para 0{,}9<x<1) a expressão vale exatamente 1. Portanto, ao aproximar x de 1 pela esquerda o valor da função permanece 1.
Passo 4
Conclusão rigorosa e verificação com sequência:
Como a função toma o valor 1 para todos os x<1 próximos de 1, o limite lateral existe e vale 1.
Verificação por sequência: para x_n=1-\tfrac{1}{n} tem‑se x_n\to1^- e
\frac{1-x_n}{|1-x_n|}=1\quad\text{para todo }n,
logo o limite ao longo dessa sequência é 1, consistente com a conclusão.