Calcule, caso existam, os limites abaixo
\lim _{x \rightarrow 1-} \frac{1-x}{|1-x|}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado o limite lateral \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{1-x}{|1-x|}.
  • Pede-se calcular esse limite (se existir).
  • Observação importante: \displaystyle x\rightarrow 1^- significa que x aproxima-se de 1 vindo pela esquerda, ou seja, por valores com x<1.

Passo 2

Recordando o significado do valor absoluto e como usá‑lo aqui:
  • Para qualquer número real u\) vale a definição por partes \[|u|=\begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
  • No nosso caso (u=1-x]. Então
    |1-x|=\begin{cases} 1-x, & \text{se } 1-x\ge 0\\ (\text{i.e. } x\le 1),\\[4pt] -(1-x)=x-1, & \text{se } 1-x<0\\ (\text{i.e. } x>1). \end{cases}]

Passo 3

Aplicando a definição ao limite lateral pedido:
  • Como estamos calculando \displaystyle \lim_{x\to 1^-}, consideramos x<1 (próximo de 1 pela esquerda). Para esses x temos 1-x>0, logo |1-x|=1-x.
  • Substituindo no quociente para x<1 (e x\neq1) obtemos
\frac{1-x}{|1-x|}=\frac{1-x}{1-x}=1.
  • Ou seja, em todo um intervalo à esquerda de 1 (por exemplo para 0{,}9<x<1) a expressão vale exatamente 1. Portanto, ao aproximar x de 1 pela esquerda o valor da função permanece 1.

Passo 4

Conclusão rigorosa e verificação com sequência:
  • Como a função toma o valor 1 para todos os x<1 próximos de 1, o limite lateral existe e vale 1.
  • Verificação por sequência: para x_n=1-\tfrac{1}{n} tem‑se x_n\to1^- e
\frac{1-x_n}{|1-x_n|}=1\quad\text{para todo }n,
logo o limite ao longo dessa sequência é 1, consistente com a conclusão.

Resposta

1

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