Encontre uma função par f e uma função ímpar g tal que h=f+g nos seguintes casos:
h(x)=|x-2|+(x+1)^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
h(x)=|x-2|+(x+1)^{2}
e pede para encontrar uma função par f e uma função ímpar g tais que h=f+g.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão explícita de h(x) está acima.
  • Precisa-se decompor h em soma de uma função par f (isto é, f(-x)=f(x) para todo x) e uma função ímpar g (isto é, g(-x)=-g(x) para todo x).
    Não se resolve nada neste passo, apenas organizamos o que é pedido.

Passo 2

Existe uma forma padrão e única de decompor qualquer função h em uma parte par e uma parte ímpar: as fórmulas
f(x)=\frac{h(x)+h(-x)}{2},\qquad g(x)=\frac{h(x)-h(-x)}{2}
geram f par e g ímpar e satisfazem h=f+g. Vou explicar por que isso funciona, passo a passo e de forma simples.
Primeiro, verificar que f é par:
f(-x)=\frac{h(-x)+h(-(-x))}{2}=\frac{h(-x)+h(x)}{2}=f(x).
Ou seja, trocar x por -x em f não altera o valor.
Agora, verificar que g é ímpar:
g(-x)=\frac{h(-x)-h(-(-x))}{2}=\frac{h(-x)-h(x)}{2}=-\frac{h(x)-h(-x)}{2}=-g(x).
Finalmente, a soma dá de volta h:
f(x)+g(x)=\frac{h(x)+h(-x)}{2}+\frac{h(x)-h(-x)}{2}=h(x).
Essas fórmulas são o método que vou aplicar ao h dado. É uma receita: primeiro calculo h(-x), depois aplico as fórmulas.

Passo 3

Calcular h(-x). Substituo x por -x em h:
h(-x)=|(-x)-2|+(-x+1)^{2}.
Simplifico os termos:
  • |(-x)-2|=|-(x+2)|=|x+2| (valor absoluto elimina o sinal).
  • (-x+1)^{2}=(1-x)^{2}=(x-1)^{2} (quadrado de negativo é o mesmo).
    Portanto
h(-x)=|x+2|+(x-1)^{2}.

Passo 4

Calcular f(x)=\dfrac{h(x)+h(-x)}{2}. Primeiro somo h(x) e h(-x):
h(x)+h(-x)=\bigl(|x-2|+(x+1)^{2}\bigr)+\bigl(|x+2|+(x-1)^{2}\bigr).
Agrupo os termos semelhantes:
h(x)+h(-x)=|x-2|+|x+2|+(x+1)^{2}+(x-1)^{2}.
Agora simplifico os quadrados:
(x+1)^{2}+(x-1)^{2}=(x^{2}+2x+1)+(x^{2}-2x+1)=2x^{2}+2.
Logo
h(x)+h(-x)=|x-2|+|x+2|+2x^{2}+2.
Dividindo por 2 obtemos f:
f(x)=\frac{h(x)+h(-x)}{2}=x^{2}+1+\frac{|x-2|+|x+2|}{2}.
Verificação rápida de paridade: os termos x^{2}+1 são pares e |x-2|+|x+2| é par porque ao trocar x por -x as duas parcelas trocam de lugar, portanto f(-x)=f(x). Assim f é par.

Passo 5

Calcular g(x)=\dfrac{h(x)-h(-x)}{2}. Primeiro faço a diferença:
h(x)-h(-x)=\bigl(|x-2|+(x+1)^{2}\bigr)-\bigl(|x+2|+(x-1)^{2}\bigr).
Agrupo:
h(x)-h(-x)=|x-2|-|x+2|+(x+1)^{2}-(x-1)^{2}.
Simplifico a diferença dos quadrados:
(x+1)^{2}-(x-1)^{2}=(x^{2}+2x+1)-(x^{2}-2x+1)=4x.
Então
h(x)-h(-x)=|x-2|-|x+2|+4x.
Dividindo por 2 obtemos g:
g(x)=\frac{h(x)-h(-x)}{2}=2x+\frac{|x-2|-|x+2|}{2}.
Verificação rápida de imparidade: ao trocar x por -x obtemos
g(-x)= -2x + \frac{|x+2|-|x-2|}{2}= -\Bigl(2x+\frac{|x-2|-|x+2|}{2}\Bigr)=-g(x),
portanto g é ímpar.

Passo 6

Resumo didático rápido (para usar na prova): a receita é sempre a mesma.
  • Calcule h(-x).
  • Use f(x)=\dfrac{h(x)+h(-x)}{2} e g(x)=\dfrac{h(x)-h(-x)}{2}.
    No caso dado isso levou às expressões que já simplificamos. Se quiser, na prova pode deixar f e g exatamente nas formas obtidas; ambas são funções elementares claras.

Resposta

f(x)=x^{2}+1+\frac{|x-2|+|x+2|}{2}
g(x)=2x+\frac{|x-2|-|x+2|}{2}

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