Encontre uma função par
e uma função ímpar
tal que
nos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para encontrar uma função par
e uma função ímpar
tais que
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A expressão explícita de
está acima. - Precisa-se decompor
em soma de uma função par (isto é, para todo ) e uma função ímpar (isto é, para todo ).
Não se resolve nada neste passo, apenas organizamos o que é pedido.
Passo 2
Existe uma forma padrão e única de decompor qualquer função
em uma parte par e uma parte ímpar: as fórmulas
geram
par e
ímpar e satisfazem
. Vou explicar por que isso funciona, passo a passo e de forma simples.
Primeiro, verificar que
é par:
Ou seja, trocar
por
em
não altera o valor.
Agora, verificar que
é ímpar:
Finalmente, a soma dá de volta
:
Essas fórmulas são o método que vou aplicar ao
dado. É uma receita: primeiro calculo
, depois aplico as fórmulas.
Passo 3
Calcular
. Substituo
por
em
:
Simplifico os termos:
-
(valor absoluto elimina o sinal). -
(quadrado de negativo é o mesmo).
Portanto
Passo 4
Calcular
. Primeiro somo
e
:
Agrupo os termos semelhantes:
Agora simplifico os quadrados:
Logo
Dividindo por
obtemos
:
Verificação rápida de paridade: os termos
são pares e
é par porque ao trocar
por
as duas parcelas trocam de lugar, portanto
. Assim
é par.
Passo 5
Calcular
. Primeiro faço a diferença:
Agrupo:
Simplifico a diferença dos quadrados:
Então
Dividindo por
obtemos
:
Verificação rápida de imparidade: ao trocar
por
obtemos
portanto
é ímpar.
Passo 6
Resumo didático rápido (para usar na prova): a receita é sempre a mesma.
- Calcule
. - Use
e .
No caso dado isso levou às expressões que já simplificamos. Se quiser, na prova pode deixare exatamente nas formas obtidas; ambas são funções elementares claras.