Se f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} são funções pares (resp. ímpares), verifique que f \circ g e g \circ f são funções pares (resp. ímpares). O que se pode dizer das composições f \circ g e g \circ f se f for par e g for ímpar?

Passo 1

O enunciado fornece funções f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} e pede para verificar duas situações distintas e depois uma mista:
  • Situação A (caso 1): f e g são pares. Verificar que f\circ g e g\circ f são pares.
  • Situação B (caso 2): f e g são ímpares. Verificar que f\circ g e g\circ f são ímpares.
  • Situação C (caso misto): f é par e g é ímpar. Dizer o que ocorre com f\circ g e com g\circ f.
As informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • As funções são definidas em todo \mathbb{R}.
  • Nos casos A e B ambas as funções têm a mesma paridade (ambas pares ou ambas ímpares).
  • No caso C temos paridade diferente: f par e g ímpar.

Passo 2

Definições essenciais (vou explicar de um jeito direto antes de usar nas provas).
  • Definição de função par: uma função h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é par se, para todo x\in\mathbb{R},
h(-x)=h(x).
Isto quer dizer que o valor da função não muda se trocar x por -x. Exemplo simples: h(x)=x^2 é par porque (-x)^2=x^2.
  • Definição de função ímpar: uma função h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é ímpar se, para todo x\in\mathbb{R},
h(-x)=-h(x).
Ou seja, trocar x por -x muda o sinal do valor. Exemplo: h(x)=x^3 é ímpar porque (-x)^3=-x^3.
Estas definições são as únicas ferramentas formais que usaremos: substituir x por -x e usar as igualdades acima.

Passo 3

Prova do caso A: f e g pares implica f\circ g e g\circ f pares.
Tomemos um x\in\mathbb{R}. Queremos mostrar que (f\circ g)(-x)=(f\circ g)(x).
Começamos escrevendo a composição em -x:
(f\circ g)(-x)=f\bigl(g(-x)\bigr).
Como g é par, vale g(-x)=g(x). Substituindo:
f\bigl(g(-x)\bigr)=f\bigl(g(x)\bigr).
Mas a última expressão é exatamente (f\circ g)(x). Portanto
(f\circ g)(-x)=(f\circ g)(x)\quad\text{para todo }x,
ou seja, f\circ g é par.
Agora para g\circ f: igualmente, para todo x,
(g\circ f)(-x)=g\bigl(f(-x)\bigr).
Como f é par, f(-x)=f(x). Então
g\bigl(f(-x)\bigr)=g\bigl(f(x)\bigr)=(g\circ f)(x).
Logo g\circ f é par também. Conclusão do caso A: ambas as composições são pares.

Passo 4

Prova do caso B: f e g ímpares implica f\circ g e g\circ f ímpares.
Tomemos x\in\mathbb{R}. Calculemos (f\circ g)(-x):
(f\circ g)(-x)=f\bigl(g(-x)\bigr).
Como g é ímpar, g(-x)=-g(x). Então
f\bigl(g(-x)\bigr)=f\bigl(-g(x)\bigr).
Agora, como f é ímpar, f(-y)=-f(y) para todo y, em particular para y=g(x). Assim
f\bigl(-g(x)\bigr)=-f\bigl(g(x)\bigr)=- (f\circ g)(x).
Portanto
(f\circ g)(-x)=-(f\circ g)(x)\quad\text{para todo }x,
o que mostra que f\circ g é ímpar.
A mesma ideia para g\circ f: para todo x,
(g\circ f)(-x)=g\bigl(f(-x)\bigr).
Como f é ímpar, f(-x)=-f(x), logo
g\bigl(f(-x)\bigr)=g\bigl(-f(x)\bigr).
Como g é ímpar, g(-y)=-g(y) para todo y, então
g\bigl(-f(x)\bigr)=-g\bigl(f(x)\bigr)=-(g\circ f)(x).
Isso prova que g\circ f é ímpar. Conclusão do caso B: ambas as composições são ímpares.

Passo 5

Caso C (misto): f par e g ímpar. Ver o que acontece com f\circ g e g\circ f.
Primeiro f\circ g. Para todo x\in\mathbb{R},
(f\circ g)(-x)=f\bigl(g(-x)\bigr).
Como g é ímpar, g(-x)=-g(x). Assim
(f\circ g)(-x)=f\bigl(-g(x)\bigr).
Mas f é par, então f(-y)=f(y) para todo y, em particular para y=g(x). Portanto
f\bigl(-g(x)\bigr)=f\bigl(g(x)\bigr)=(f\circ g)(x).
Logo f\circ g é par.
Agora g\circ f. Para todo x,
(g\circ f)(-x)=g\bigl(f(-x)\bigr).
Como f é par, f(-x)=f(x). Portanto
g\bigl(f(-x)\bigr)=g\bigl(f(x)\bigr)=(g\circ f)(x).
Então g\circ f também é par.
Conclusão do caso C: se f é par e g é ímpar, então ambas as composições f\circ g e g\circ f são pares.

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar a intuição (verificando os resultados acima com funções concretas):
  • Tome f(x)=x^2 (par) e g(x)=x^3 (ímpar).
    • (f\circ g)(x)=f(g(x))=(x^3)^2=x^6, que é par.
    • (g\circ f)(x)=g(f(x))=(x^2)^3=x^6, que é par.
  • Para o caso ímpar com duas ímpares: f(x)=x^3, g(x)=\sin x (ambas ímpares).
    • (f\circ g)(x)=(\sin x)^3 é ímpar (porque \sin(-x)=-\sin x e elevando ao cubo preserva o sinal).
    • Similar para g\circ f.
Esses exemplos confirmam os resultados gerais que provamos.

Passo 7

Resumo intuitivo e observações finais (rápidas):
  • Quando ambas são pares, a simetria em torno da origem é preservada pela composição.
  • Quando ambas são ímpares, a troca de sinal em x produz troca de sinal no valor composto, portanto a composição é ímpar.
  • No caso misto f par e g ímpar, a paridade “ganha” no sentido de que as duas composições acabam sendo pares.
  • Observação extra (útil em provas): se a função interna é par, então qualquer composição com ela por dentro, isto é h\circ f, será par para qualquer h. Isso é porque f(-x)=f(x) já faz h(f(-x))=h(f(x)). (Essa observação não foi pedida diretamente, mas ajuda a entender padrões.)
Força aí — já sabe como estruturar uma prova sobre paridade: escreva (\cdot)(-x), use as identidades de par/ímpar e simplifique.

Resposta

Se f e g são pares, então f\circ g e g\circ f são pares.
Se f e g são ímpares, então f\circ g e g\circ f são ímpares.
Se f é par e g é ímpar, então f\circ g e g\circ f são pares.

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