Se
são funções pares (resp. ímpares), verifique que
e
são funções pares (resp. ímpares). O que se pode dizer das composições
e
se
for par e
for ímpar?
Passo 1
O enunciado fornece funções
e pede para verificar duas situações distintas e depois uma mista:
- Situação A (caso 1):
e são pares. Verificar que e são pares. - Situação B (caso 2):
e são ímpares. Verificar que e são ímpares. - Situação C (caso misto):
é par e é ímpar. Dizer o que ocorre com e com .
As informações relevantes dadas pelo enunciado:
- As funções são definidas em todo
. - Nos casos A e B ambas as funções têm a mesma paridade (ambas pares ou ambas ímpares).
- No caso C temos paridade diferente:
par e ímpar.
Passo 2
Definições essenciais (vou explicar de um jeito direto antes de usar nas provas).
- Definição de função par: uma função
é par se, para todo ,
Isto quer dizer que o valor da função não muda se trocar
por
. Exemplo simples:
é par porque
.
- Definição de função ímpar: uma função
é ímpar se, para todo ,
Ou seja, trocar
por
muda o sinal do valor. Exemplo:
é ímpar porque
.
Estas definições são as únicas ferramentas formais que usaremos: substituir
por
e usar as igualdades acima.
Passo 3
Prova do caso A:
e
pares implica
e
pares.
Tomemos um
. Queremos mostrar que
.
Começamos escrevendo a composição em :
Começamos escrevendo a composição em
Como
é par, vale
. Substituindo:
Mas a última expressão é exatamente
. Portanto
ou seja,
é par.
Agora para
: igualmente, para todo
,
Como
é par,
. Então
Logo
é par também. Conclusão do caso A: ambas as composições são pares.
Passo 4
Prova do caso B:
e
ímpares implica
e
ímpares.
Tomemos
. Calculemos
:
Como
é ímpar,
. Então
Agora, como
é ímpar,
para todo
, em particular para
. Assim
Portanto
o que mostra que
é ímpar.
A mesma ideia para
: para todo
,
Como
é ímpar,
, logo
Como
é ímpar,
para todo
, então
Isso prova que
é ímpar. Conclusão do caso B: ambas as composições são ímpares.
Passo 5
Caso C (misto):
par e
ímpar. Ver o que acontece com
e
.
Primeiro
. Para todo
,
Como
é ímpar,
. Assim
Mas
é par, então
para todo
, em particular para
. Portanto
Logo
é par.
Agora
. Para todo
,
Como
é par,
. Portanto
Então
também é par.
Conclusão do caso C: se
é par e
é ímpar, então ambas as composições
e
são pares.
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar a intuição (verificando os resultados acima com funções concretas):
- Tome
(par) e (ímpar). -
, que é par. -
, que é par.
-
- Para o caso ímpar com duas ímpares:
, (ambas ímpares). -
é ímpar (porque e elevando ao cubo preserva o sinal). - Similar para
.
-
Esses exemplos confirmam os resultados gerais que provamos.
Passo 7
Resumo intuitivo e observações finais (rápidas):
- Quando ambas são pares, a simetria em torno da origem é preservada pela composição.
- Quando ambas são ímpares, a troca de sinal em
produz troca de sinal no valor composto, portanto a composição é ímpar. - No caso misto
par e ímpar, a paridade “ganha” no sentido de que as duas composições acabam sendo pares. - Observação extra (útil em provas): se a função interna é par, então qualquer composição com ela por dentro, isto é
, será par para qualquer . Isso é porque já faz . (Essa observação não foi pedida diretamente, mas ajuda a entender padrões.)
Força aí — já sabe como estruturar uma prova sobre paridade: escreva
, use as identidades de par/ímpar e simplifique.
Resposta
Se
e
são pares, então
e
são pares.
Se e
são ímpares, então
e
são ímpares.
Se é par e
é ímpar, então
e
são pares.
Se
Se