Calcule, caso existam, os limites a seguir.
\lim _{x \rightarrow-3} \sqrt[3]{\frac{\left(x^{2}-9\right)^{2}}{(x+3)^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to -3} \sqrt[3]{\frac{(x^2-9)^2}{(x+3)^2}}
Para resolver, vamos usar fatoração de polinômio e a propriedade de continuidade da função raiz cúbica.

Passo 2

Fatoramos o quadrado do binômio:
(x^2-9)^2 = \bigl((x-3)(x+3)\bigr)^2 = (x-3)^2\,(x+3)^2.
Logo, para x\neq -3,
\frac{(x^2-9)^2}{(x+3)^2} = (x-3)^2.

Passo 3

Portanto, para x\neq -3 a função dentro do limite é
f(x) = \sqrt[3]{(x-3)^2}.
Sabemos que polinômio e raiz cúbica são funções contínuas em todo \mathbb{R}, logo a composição também é contínua.

Passo 4

Pela continuidade de f em x=-3, o limite é o mesmo que o valor de f em -3:
\lim_{x\to -3} f(x)=f(-3)=\sqrt[3]{(-3-3)^2}=\sqrt[3]{36}.

Resposta

\displaystyle \sqrt[3]{36}

Exercícios relacionados