Calcule, caso existam, os limites a seguir.
\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{x^{2}-1}{x-1}\right)^{5}

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos calcular \lim_{x\to1}\Bigl(\frac{x^2-1}{x-1}\Bigr)^5.
Aqui temos um limite de uma função racional que, ao substituir x=1, dá a forma indeterminada 0/0. Vamos usar fatoração e cancelamento para simplificar.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada: ao pôr x=1 em x^2-1 e em x-1, obtemos
x^2-1\bigm|_{x=1}=0 \quad\text{e}\quad x-1\bigm|_{x=1}=0,
logo \frac{x^2-1}{x-1} é 0/0 em x=1. Precisamos simplificar antes de tomar o limite.

Passo 3

Fatoramos o numerador:
x^2-1 = (x-1)(x+1).
Para x\neq1, cancelamos x-1 em cima e embaixo, ficando
\frac{x^2-1}{x-1} = x+1.
Assim, a expressão original vira
(x+1)^5.

Passo 4

Como x+1 é polinomial (logo contínuo), podemos trocar o limite por substituição direta:
\lim_{x\to1}(x+1)^5 = (1+1)^5 = 2^5 = 32.

Resposta

32

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