Calcule, caso existam, os limites a seguir.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{(x-2)^{2}}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 2} \frac{(x-2)^{2}}{x^{2}-4}.
O conteúdo envolvido é cálculo de limites de funções racionais. Vamos usar fatoração de polinômios e simplificação algébrica para eliminar a forma indeterminada \tfrac{0}{0}.

Passo 2

Observe que o denominador x^{2}-4 pode ser fatorado como diferença de quadrados:
x^{2}-4 = (x-2)(x+2).

Passo 3

Para x\neq 2, podemos simplificar a expressão cancelando um fator (x-2) no numerador e no denominador:
\frac{(x-2)^{2}}{x^{2}-4} = \frac{(x-2)\,\cancel{(x-2)}}{\cancel{(x-2)}\,(x+2)} = \frac{x-2}{x+2}.

Passo 4

Agora que a indeterminação foi eliminada, basta avaliar o limite na expressão simplificada:
\lim_{x\to 2}\frac{x-2}{x+2} = \frac{2-2}{2+2} = \frac{0}{4} = 0.

Resposta

0

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