e o ponto de interesse é (x,y)=(0,0). A pergunta é: esse limite existe? Se sim, qual é o seu valor?
Passo 2
Vamos escolher um método para investigar o limite. Quando temos limites em duas variáveis e uma expressão homogênea em potências de x e y (aqui as potências totais no numerador e no denominador são de grau 4), uma estratégia eficiente é usar coordenadas polares porque elas separam a dependência do raio r (distância até a origem) da dependência do ângulo \theta (direção de aproximação). Isso permite ver se o valor ao aproximar-se da origem depende da direção; se depender, o limite não existe.
Passo 3
Apresento agora as coordenadas polares e por que elas ajudam.
Definimos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao ponto (0,0) e \theta\in\mathbb{R} é o ângulo que indica a direção. Aproximar (x,y) por (0,0) equivale a fazer r\to 0^+ (o ângulo \theta pode ficar fixo ou variar, dependendo da trajetória). Em seguida vou substituir x e y em coordenadas polares na expressão do limite.
Passo 4
Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta nas partes da expressão:
Note que o lado direito depende apenas de \theta e não de r. Isso significa que, ao aproximar (x,y) da origem mantendo uma direção fixa \theta, o valor da fração tende para esse valor dependente de \theta. Para que o limite na origem exista (independente da trajetória), essa quantidade teria que ser a mesma para todo \theta. Portanto basta encontrar duas direções \theta que deem valores diferentes para concluir que o limite não existe.
Passo 6
Vamos calcular o valor da expressão para duas direções fáceis: