Calcule, caso existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{4}+3 x^{2} y^{2}+2 x y^{3}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que calculemos, se existir, o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{4}+3x^{2}y^{2}+2xy^{3}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}.
Informações dadas:
\text{numerador} = x^{4}+3x^{2}y^{2}+2xy^{3},
\text{denominador} = \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2},
e o ponto de interesse é (x,y)=(0,0). A pergunta é: esse limite existe? Se sim, qual é o seu valor?

Passo 2

Vamos escolher um método para investigar o limite. Quando temos limites em duas variáveis e uma expressão homogênea em potências de x e y (aqui as potências totais no numerador e no denominador são de grau 4), uma estratégia eficiente é usar coordenadas polares porque elas separam a dependência do raio r (distância até a origem) da dependência do ângulo \theta (direção de aproximação). Isso permite ver se o valor ao aproximar-se da origem depende da direção; se depender, o limite não existe.

Passo 3

Apresento agora as coordenadas polares e por que elas ajudam.
Definimos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao ponto (0,0) e \theta\in\mathbb{R} é o ângulo que indica a direção. Aproximar (x,y) por (0,0) equivale a fazer r\to 0^+ (o ângulo \theta pode ficar fixo ou variar, dependendo da trajetória). Em seguida vou substituir x e y em coordenadas polares na expressão do limite.

Passo 4

Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta nas partes da expressão:
x^{2}+y^{2}=r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}\sin^{2}\theta=r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=r^{2}.
Portanto o denominador fica
\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} = (r^{2})^{2}=r^{4}.
Agora o numerador termo a termo:
x^{4}=(r\cos\theta)^{4}=r^{4}\cos^{4}\theta,
3x^{2}y^{2}=3(r\cos\theta)^{2}(r\sin\theta)^{2}=3r^{4}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta,
2xy^{3}=2(r\cos\theta)(r\sin\theta)^{3}=2r^{4}\cos\theta\sin^{3}\theta.
Somando os termos do numerador obtemos
x^{4}+3x^{2}y^{2}+2xy^{3}=r^{4}\bigl(\cos^{4}\theta+3\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta+2\cos\theta\sin^{3}\theta\bigr).

Passo 5

Dividindo numerador por denominador, a expressão original torna-se (sempre que r>0)
\frac{x^{4}+3x^{2}y^{2}+2xy^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{r^{4}\bigl(\cos^{4}\theta+3\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta+2\cos\theta\sin^{3}\theta\bigr)}{r^{4}}.
Cancelando r^{4} (válido para r>0) obtemos
\frac{x^{4}+3x^{2}y^{2}+2xy^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\cos^{4}\theta+3\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta+2\cos\theta\sin^{3}\theta.
Note que o lado direito depende apenas de \theta e não de r. Isso significa que, ao aproximar (x,y) da origem mantendo uma direção fixa \theta, o valor da fração tende para esse valor dependente de \theta. Para que o limite na origem exista (independente da trajetória), essa quantidade teria que ser a mesma para todo \theta. Portanto basta encontrar duas direções \theta que deem valores diferentes para concluir que o limite não existe.

Passo 6

Vamos calcular o valor da expressão para duas direções fáceis:
  1. Direção \theta=0 (eixo x, ou seja y=0).
\cos 0 = 1,\qquad \sin 0 = 0,
\cos^{4}0+3\cos^{2}0\sin^{2}0+2\cos0\sin^{3}0 = 1^{4}+3\cdot1^{2}\cdot0^{2}+2\cdot1\cdot0^{3}=1.
Logo ao aproximar pela linha y=0 a expressão tende para 1. Em coordenadas cartesianas isso corresponde a calcular
\left.\frac{x^{4}+3x^{2}y^{2}+2xy^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\right|_{y=0}=\frac{x^{4}}{x^{4}}=1\quad(\text{para }x\neq0).
  1. Direção \theta=\tfrac{\pi}{2} (eixo y, ou seja x=0).
\cos\frac{\pi}{2}=0,\qquad \sin\frac{\pi}{2}=1,
\cos^{4}\tfrac{\pi}{2}+3\cos^{2}\tfrac{\pi}{2}\sin^{2}\tfrac{\pi}{2}+2\cos\tfrac{\pi}{2}\sin^{3}\tfrac{\pi}{2}=0+0+0=0.
Em cartesianas, na linha x=0 temos
\left.\frac{x^{4}+3x^{2}y^{2}+2xy^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\right|_{x=0}=\frac{0}{y^{4}}=0\quad(\text{para }y\neq0).
Como ao aproximar pela direção y=0 o valor tende para 1 e ao aproximar pela direção x=0 tende para 0, os valores limites são diferentes.

Passo 7

Conclusão: o valor do limite depende da direção de aproximação (o valor obtido varia com \theta), portanto o limite quando (x,y)\to(0,0) não existe.

Resposta

Não existe.

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