Calcule, caso existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{4} y^{4}}{\left(x^{2}+y^{4}\right)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite quando (x,y) se aproxima de (0,0):
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{4}y^{4}}{\left(x^{2}+y^{4}\right)^{3}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão do numerador é x^{4}y^{4}.
  • A expressão do denominador é \left(x^{2}+y^{4}\right)^{3}.
  • O denominador se anula exatamente em (x,y)=(0,0), pois x^{2}+y^{4}=0 só quando x=0 e y=0. Portanto a função está bem definida para todo (x,y)\neq(0,0) e a questão é sobre o comportamento ao nos aproximarmos de (0,0).
  • O que se pede: decidir se o limite existe e, se existir, calcular o seu valor.

Passo 2

Estratégia didática (sem resolver ainda): em limites de funções de duas variáveis é comum testar diferentes caminhos de aproximação a (0,0). Se encontrarmos dois caminhos que produzem limites diferentes, então o limite total não existe. Vou construir uma família de caminhos que equilibra as potências de x e y para facilitar as contas e ver se o valor depende do caminho.

Passo 3

Construção dos caminhos: vamos parametrizar um caminho por um parâmetro real t pequeno, escolhendo
x=t^{2},\qquad y=a\,t,
onde a é um parâmetro real arbitrário (fixo para cada caminho) e t\to 0. Essa escolha faz com que \(x^{2}) e \(y^{4}) tenham a mesma ordem em t, porque:
  • x^{2}=(t^{2})^{2}=t^{4},
  • y^{4}=(a t)^{4}=a^{4}t^{4}.
    Assim x^{2} e y^{4} são ambos da ordem t^{4}, o que tende a cancelar poderes iguais no numerador e no denominador e revelar um possível valor dependente de a.

Passo 4

Substituição na expressão original usando x=t^{2} e y=a t. Primeiro calculemos numerador e denominador em função de t:
  • Numerador:
x^{4}y^{4}=(t^{2})^{4}\cdot (a t)^{4}=t^{8}\cdot a^{4}t^{4}=a^{4}t^{12}.
  • Denominador:
x^{2}+y^{4}=t^{4}+a^{4}t^{4}=(1+a^{4})t^{4},
então
\left(x^{2}+y^{4}\right)^{3}=\big((1+a^{4})t^{4}\big)^{3}=(1+a^{4})^{3}t^{12}.

Passo 5

Agora a razão fica, para t\neq 0,
\frac{x^{4}y^{4}}{\left(x^{2}+y^{4}\right)^{3}}=\frac{a^{4}t^{12}}{(1+a^{4})^{3}t^{12}}=\frac{a^{4}}{(1+a^{4})^{3}}.
Note que o t^{12} cancela completamente, ficando um valor que depende só de a, e não de t. Assim, ao fazer t\to 0 ao longo desse caminho, o limite é exatamente
\frac{a^{4}}{(1+a^{4})^{3}}.

Passo 6

Conclusão a partir da dependência em a: como o limite ao longo dos caminhos dados por x=t^{2},\,y=a t é \dfrac{a^{4}}{(1+a^{4})^{3}}, e esse valor varia quando escolhemos diferentes a, obtemos diferentes limites ao nos aproximar de (0,0) por caminhos distintos. Para exemplificar:
  • Se escolhermos a=0 (ou seja y=0), o valor é
\frac{0^{4}}{(1+0^{4})^{3}}=0.
  • Se escolhermos a=1 (ou seja y=t,\;x=t^{2}), o valor é
\frac{1^{4}}{(1+1^{4})^{3}}=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}.
Como 0\neq \tfrac{1}{8}, já temos dois caminhos que dão limites diferentes.

Passo 7

Portanto o limite total quando (x,y)\to(0,0) não é único — ele depende do caminho — logo o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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