Calcule, caso existe.
Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite quando
se aproxima de
:
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão do numerador é
. - A expressão do denominador é
. - O denominador se anula exatamente em
, pois só quando e . Portanto a função está bem definida para todo e a questão é sobre o comportamento ao nos aproximarmos de . - O que se pede: decidir se o limite existe e, se existir, calcular o seu valor.
Passo 2
Estratégia didática (sem resolver ainda): em limites de funções de duas variáveis é comum testar diferentes caminhos de aproximação a
. Se encontrarmos dois caminhos que produzem limites diferentes, então o limite total não existe. Vou construir uma família de caminhos que equilibra as potências de
e
para facilitar as contas e ver se o valor depende do caminho.
Passo 3
Construção dos caminhos: vamos parametrizar um caminho por um parâmetro real
pequeno, escolhendo
onde
é um parâmetro real arbitrário (fixo para cada caminho) e
. Essa escolha faz com que
) e
) tenham a mesma ordem em
, porque:
-
, -
.
Assime são ambos da ordem , o que tende a cancelar poderes iguais no numerador e no denominador e revelar um possível valor dependente de .
Passo 4
Substituição na expressão original usando
e
. Primeiro calculemos numerador e denominador em função de
:
- Numerador:
- Denominador:
então
Passo 5
Agora a razão fica, para
,
Note que o
cancela completamente, ficando um valor que depende só de
, e não de
. Assim, ao fazer
ao longo desse caminho, o limite é exatamente
Passo 6
Conclusão a partir da dependência em
: como o limite ao longo dos caminhos dados por
é
, e esse valor varia quando escolhemos diferentes
, obtemos diferentes limites ao nos aproximar de
por caminhos distintos. Para exemplificar:
- Se escolhermos
(ou seja ), o valor é
- Se escolhermos
(ou seja ), o valor é
Como
, já temos dois caminhos que dão limites diferentes.
Passo 7
Portanto o limite total quando
não é único — ele depende do caminho — logo o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.