A função considerada é \displaystyle f(x,y)=\frac{x^{9}y}{\bigl(x^{6}+y^{2}\bigr)^{2}} (definida para (x,y)\neq(0,0)).
A pergunta é: esse limite existe? Se sim, qual é o valor; se não, provar que não existe.
Passo 2
Qual é a estratégia para limites em várias variáveis (explicação didática, sem assumir que você já sabe): para \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existir, o valor de f(x,y) ao aproximar (x,y) de (0,0) deve ser o mesmo por qualquer caminho. Uma maneira simples e poderosa de mostrar que um limite não existe é encontrar dois (ou mais) caminhos que levem a limites diferentes. Vou usar isso aqui.
Raciocínio para escolher os caminhos: note os expoentes em \bigl(x^{6}+y^{2}\bigr). Se tomarmos um caminho em que y^{2} tem a mesma ordem de grandeza de x^{6} quando x\to0, ambos termos do denominador ficam do mesmo nível e podemos simplificar bem. Uma escolha natural é um caminho do tipo
y = m x^{3},
com m constante real, porque então y^{2}=m^{2}x^{6} e fica diretamente comparável a x^{6}. Vou testar isso.
Passo 3
Substituo o caminho y=m x^{3} na expressão. Primeiro calcule o numerador:
\text{numerador} = x^{9}\,y = x^{9}\,(m x^{3}) = m x^{12}.
Note que esse valor é CONSTANTE em relação a x; portanto, quando (x,y)\to(0,0) seguindo esse caminho, a função tende exatamente a \displaystyle \frac{m}{(1+m^{2})^{2}}.
Passo 5
Consequência lógica: o limite ao aproximar por caminhos y=m x^{3} depende do parâmetro m. Se o limite geral \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existisse, o valor obtido seria único e independentemente do caminho. Como encontramos uma família de caminhos que dão limites diferentes (variando m), concluímos que o limite não existe.
Para ficar mais concreto, veja exemplos numéricos:
Para m=0 (ou seja, pelo eixo y=0) obtemos
\frac{0}{(1+0)^{2}}=0.
Para m=1 obtemos
\frac{1}{(1+1)^{2}}=\frac{1}{4}.
Como 0\neq\frac{1}{4}, já temos caminhos com limites distintos, logo o limite total não existe.
Passo 6
Resposta final e interpretação intuitiva (didática): a razão por que isso ocorre é que, ao escolher caminhos com y da ordem de x^{3}, o numerador e o denominador têm potências de x que se cancelam exatamente, deixando apenas uma dependência do parâmetro m. Como diferentes m produzem diferentes constantes, não há um único valor-limite quando (x,y)\to(0,0) por direções arbitrárias.