Integração por partes
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a primitiva (integral indefinida) da função
, isto é, encontrar
Informações dadas: o integrando é a função inversa da tangente escrita como
. A pergunta é única: obter uma expressão para a integral indefinida (com constante de integração).
Passo 2
Escolha do método (explicação didática e sem mistério): um truque clássico para integrar funções do tipo “inversa de função elementar” é a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é
onde
e
são expressões escolhidas a partir do integrando;
é a derivada de
vezes
e
é uma primitiva de
. Aqui a ideia é escolher
para ser a parte que fica mais simples quando derivamos (no nosso caso
) e escolher
de forma que sua primitiva seja simples (aqui
é a escolha natural). Não se preocupe — isso é o padrão para integrar inversas trigonométricas.
Passo 3
Definimos as quantidades para aplicar a fórmula:
Agora precisamos de
e
.
A derivada de é (mostro rapidamente o porquê): se
então
. Diferenciando ambos os lados em relação a
temos
. Como
, segue
A derivada de
Logo
E como
, uma primitiva é
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes
com as escolhas acima, obtemos
Agora só falta calcular a integral
.
Passo 5
Calculo da integral restante por substituição (a forma mais direta): note que o numerador é a derivada (até constante) do denominador. Faça a substituição
Assim
Voltando a
(e notando que
sempre, então podemos tirar as barras):
Passo 6
Substituindo esse resultado em (Passo 4) e agrupando a constante de integração em um único
, temos
Se quiser checar na prova: derive o lado direito e você volta para
. Isso confirma que a primitiva está correta.