Integração por partes
\int \operatorname{arctg}(x) d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a primitiva (integral indefinida) da função \operatorname{arctg}(x), isto é, encontrar
\int \operatorname{arctg}(x)\,dx.
Informações dadas: o integrando é a função inversa da tangente escrita como \operatorname{arctg}(x). A pergunta é única: obter uma expressão para a integral indefinida (com constante de integração).

Passo 2

Escolha do método (explicação didática e sem mistério): um truque clássico para integrar funções do tipo “inversa de função elementar” é a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e dv são expressões escolhidas a partir do integrando; du é a derivada de u vezes dx e v é uma primitiva de dv. Aqui a ideia é escolher u para ser a parte que fica mais simples quando derivamos (no nosso caso \operatorname{arctg}(x)) e escolher dv de forma que sua primitiva seja simples (aqui dv = dx é a escolha natural). Não se preocupe — isso é o padrão para integrar inversas trigonométricas.

Passo 3

Definimos as quantidades para aplicar a fórmula:
u = \operatorname{arctg}(x),\qquad dv = dx.
Agora precisamos de du e v.
A derivada de \operatorname{arctg}(x) é (mostro rapidamente o porquê): se \,y=\operatorname{arctg}(x) então \tan y = x. Diferenciando ambos os lados em relação a x temos \operatorname{sec}^2 y\cdot \dfrac{dy}{dx}=1. Como \operatorname{sec}^2 y=1+\tan^2 y=1+x^2, segue
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}.
Logo
du=\frac{1}{1+x^2}\,dx.
E como dv=dx, uma primitiva é
v = \int dv = \int dx = x.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du com as escolhas acima, obtemos
\int \operatorname{arctg}(x)\,dx = x\operatorname{arctg}(x) - \int x\cdot\frac{1}{1+x^2}\,dx.
Agora só falta calcular a integral \displaystyle \int \frac{x}{1+x^2}\,dx.

Passo 5

Calculo da integral restante por substituição (a forma mais direta): note que o numerador é a derivada (até constante) do denominador. Faça a substituição
t = 1+x^2 \quad\Rightarrow\quad dt = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,dt.
Assim
\int \frac{x}{1+x^2}\,dx = \int \frac{1}{t}\cdot\frac{1}{2}\,dt = \frac{1}{2}\int \frac{1}{t}\,dt = \frac{1}{2}\ln|t| + C.
Voltando a x (e notando que 1+x^2>0 sempre, então podemos tirar as barras):
\int \frac{x}{1+x^2}\,dx = \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C.

Passo 6

Substituindo esse resultado em (Passo 4) e agrupando a constante de integração em um único C, temos
\int \operatorname{arctg}(x)\,dx = x\operatorname{arctg}(x) - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C.
Se quiser checar na prova: derive o lado direito e você volta para \operatorname{arctg}(x). Isso confirma que a primitiva está correta.

Resposta

x\operatorname{arctg}(x)-\dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)+C

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