Determine os valores de máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função (
/2,0 pts)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar:
- os pontos de máximo local (se houver),
- os pontos de mínimo local (se houver),
- os pontos de sela.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Temos uma função de duas variáveis
e . - Precisamos encontrar pontos onde a derivada (vetor gradiente) é nula — esses são os candidatos (pontos críticos) — e em seguida classificá-los como máximo local, mínimo local ou sela usando derivadas de segunda ordem.
Passo 2
Vamos calcular o vetor gradiente
, ou seja, as derivadas parciais de
em relação a
e a
.
Derivadas parciais:
Explicação didática: a derivada parcial
é a taxa de variação de
quando mudamos só
mantendo
fixo; aplicamos a regra potência (
) e a linearidade. Mesma ideia para
.
Passo 3
Encontrar pontos críticos: resolvemos o sistema
, isto é
Vamos resolver passo a passo. Da primeira equação isolamos
:
Substituímos
na segunda equação:
Calculando
, obtemos
Fatorando
:
Logo as soluções são
ou
Agora obtemos os
correspondentes usando
:
- Para
: . Ponto crítico . - Para
: . Ponto crítico .
Resumo dos pontos críticos:
e
.
Passo 4
Para classificar os pontos críticos usamos a matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas):
Calculamos as segundas derivadas:
Explicação didática:
é a derivada parcial de
em relação a
, e assim por diante. A matriz Hessiana é simétrica aqui porque as derivadas mistas são iguais.
A regra de classificação (teste das derivadas de segunda ordem) para funções de duas variáveis:
- Calcular
. - Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Passo 5
Aplicamos o teste em cada ponto crítico.
Primeiro em
:
Então
Como
, concluímos que
é um ponto de sela.
Agora em
:
Logo
Como
e
, concluímos que
é um mínimo local.
Passo 6
Vamos calcular os valores da função nesses pontos (é bom levar isso para a prova, às vezes pedem o valor do extremo).
Para
:
Para
:
Calculando passo a passo:
outro termo
. Somando:
Portanto
Observação empática: repare que o valor em
é
e no mínimo local
é
. Mesmo que
seja maior, isso não faz de
um máximo local — o teste mostrou que ali é sela.
Resposta
Máximo local: nenhum.
Mínimo local:
com
.
Ponto de sela:
com
.