Calcule:
Dados z_{1}=5(\cos (\pi)+i \cdot \operatorname{sen}(\pi)) e z_{2}=3\left(\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)+i \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{3}\right)\right).

Passo 1

O enunciado dá dois números complexos em forma trigonométrica e pede para calculá‑los:
z_{1}=5\bigl(\cos(\pi)+i\cdot\operatorname{sen}(\pi)\bigr)
z_{2}=3\bigl(\cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)+i\cdot\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)\bigr)
Informações relevantes fornecidas: os módulos são 5 e 3 e os argumentos são \pi e \tfrac{\pi}{3}, respectivamente. O que precisamos apresentar é o valor numérico (forma a+bi) de cada um.

Passo 2

Regra básica (aulas da prova): um número complexo em forma trigonométrica \;r\bigl(\cos\theta+i\sin\theta\bigr)\; é igual, em forma cartesiana, a \;r\cos\theta + i\,r\sin\theta\;. Vou escrever isso isolado para ficar claro:
r\bigl(\cos\theta+i\sin\theta\bigr)=r\cos\theta + i\,r\sin\theta.
Aqui:
  • r é o módulo (um número real não negativo),
  • \theta é o argumento (ângulo),
  • \cos\theta e \sin\theta são os valores trigonométricos correspondentes no círculo unitário.
    Na prova, quando ver essa forma, é só calcular \cos\theta e \sin\theta (valores conhecidos para ângulos notáveis) e multiplicar por r.

Passo 3

Calcular z_{1}. Primeiro, lembrar os valores no círculo unitário:
\cos(\pi)=-1,\qquad \sin(\pi)=0.
Substituindo em \;z_{1}=5\bigl(\cos(\pi)+i\sin(\pi)\bigr)\; e usando a regra do Passo 2:
z_{1}=5\cos(\pi)+i\cdot 5\sin(\pi)=5\cdot(-1)+i\cdot 5\cdot 0=-5+ i\cdot 0.
Portanto, simplificando,
z_{1}=-5.
(Interpretação rápida: é um número real negativo com módulo 5 e argumento \pi.)

Passo 4

Calcular z_{2}. Valores conhecidos:
\cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac{1}{2},\qquad \sin\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Substituindo em \;z_{2}=3\bigl(\cos(\tfrac{\pi}{3})+i\sin(\tfrac{\pi}{3})\bigr)\; e aplicando a regra:
z_{2}=3\cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)+i\cdot 3\sin\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=3\cdot\tfrac{1}{2}+i\cdot 3\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Calculando os produtos:
z_{2}=\tfrac{3}{2}+i\cdot\tfrac{3\sqrt{3}}{2}.
Se quiser, dá para escrever como fator comum \tfrac{3}{2}\bigl(1+i\sqrt{3}\bigr), mas a forma a+bi é a mais direta para a prova.

Passo 5

Resumo útil para a prova (dica prática): quando vir r(\cos\theta+i\sin\theta),
  1. lembre os valores de \cos e \sin para ângulos notáveis ( 0,\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{2},\pi, …),
  2. multiplique cada um por r para obter a forma a+bi.
    Isso evita erros e é rápido de fazer sem calculadora.

Resposta

z_{1}=-5
z_{2}=\tfrac{3}{2}+i\cdot\tfrac{3\sqrt{3}}{2}

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