Calcule o centro de massa:
e
o quadrado
.
Passo 1
O enunciado pede o centro de massa de uma lâmina com densidade variável. As informações dadas são:
- A densidade superficial é
. - A região
é o quadrado dado por e .
O que é pedido:
- Calcular as coordenadas do centro de massa
da lâmina sobre a região .
Passo 2
Relembrando as fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
- A massa
da lâmina com densidade sobre a região é
onde
representa o elemento de área (aqui
ou
).
- O momento em relação ao eixo
(usado para ) é
- O momento em relação ao eixo
(usado para ) é
- As coordenadas do centro de massa são então
Explicação intuitiva:
é a massa total;
mede "quanto peso fica longe do eixo
" (multiplica-se por
), e
mede "quanto peso fica longe do eixo
" (multiplica-se por
). Dividindo pelos
obtemos o ponto médio ponderado pela densidade.
Passo 3
Calcular a massa
. Como
e
é o quadrado unitário, escolhemos integrar primeiro em
e depois em
:
Executando a integral interna em
:
Agora integrar em
:
Passo 4
Calcular o momento
(para obter
):
Fazendo a integral interna em
:
Agora integrar em
:
Passo 5
Calcular o momento
(para obter
). Note que aqui aparece
:
Integral interna em
:
Agora integrar em
:
Passo 6
Calcular as coordenadas do centro de massa usando os resultados anteriores:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Interpretação rápida e motivação para lembrar na prova: a densidade aumenta linearmente com
, então há mais “massa” na parte superior do quadrado, o que empurra o centro de massa para cima (de
no caso homogêneo para
aqui). Em
a densidade é simétrica (não depende de
), por isso
(meio do intervalo).