Calcule o centro de massa:
\quad \delta(x, y)=y e B o quadrado 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa de uma lâmina com densidade variável. As informações dadas são:
  • A densidade superficial é \delta(x,y)=y.
  • A região B é o quadrado dado por 0\le x\le 1 e 0\le y\le 1.
O que é pedido:
  • Calcular as coordenadas do centro de massa \big(\bar{x},\bar{y}\big) da lâmina sobre a região B.

Passo 2

Relembrando as fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • A massa M da lâmina com densidade \delta(x,y) sobre a região B é
M=\iint_{B}\delta(x,y)\,dA,
onde dA representa o elemento de área (aqui dA=dx\,dy ou dy\,dx).
  • O momento em relação ao eixo y (usado para \bar{x}) é
M_y=\iint_{B} x\,\delta(x,y)\,dA.
  • O momento em relação ao eixo x (usado para \bar{y}) é
M_x=\iint_{B} y\,\delta(x,y)\,dA.
  • As coordenadas do centro de massa são então
\bar{x}=\frac{M_y}{M},\qquad \bar{y}=\frac{M_x}{M}.
Explicação intuitiva: M é a massa total; M_y mede "quanto peso fica longe do eixo y" (multiplica-se por x), e M_x mede "quanto peso fica longe do eixo x" (multiplica-se por y). Dividindo pelos M obtemos o ponto médio ponderado pela densidade.

Passo 3

Calcular a massa M. Como \delta(x,y)=y e B é o quadrado unitário, escolhemos integrar primeiro em y e depois em x:
M=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1} y\,dy\,dx.
Executando a integral interna em y:
\int_{y=0}^{1} y\,dy=\left[\tfrac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}.
Agora integrar em x:
M=\int_{0}^{1}\tfrac{1}{2}\,dx=\tfrac{1}{2}\cdot\left[x\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Calcular o momento M_y=\iint_{B} x\,\delta(x,y)\,dA (para obter \bar{x}):
M_y=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1} x\,y\,dy\,dx.
Fazendo a integral interna em y:
\int_{y=0}^{1} x\,y\,dy = x\int_{0}^{1} y\,dy = x\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{x}{2}.
Agora integrar em x:
M_y=\int_{0}^{1}\tfrac{x}{2}\,dx=\tfrac{1}{2}\cdot\left[\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4}.

Passo 5

Calcular o momento M_x=\iint_{B} y\,\delta(x,y)\,dA (para obter \bar{y}). Note que aqui aparece y\cdot\delta(x,y)=y\cdot y=y^{2}:
M_x=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1} y^{2}\,dy\,dx.
Integral interna em y:
\int_{y=0}^{1} y^{2}\,dy=\left[\tfrac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{3}.
Agora integrar em x:
M_x=\int_{0}^{1}\tfrac{1}{3}\,dx=\tfrac{1}{3}\cdot\left[x\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{3}.

Passo 6

Calcular as coordenadas do centro de massa usando os resultados anteriores:
  • Para \bar{x}:
\bar{x}=\frac{M_y}{M}=\frac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{1}{2}}=\tfrac{1}{2}.
  • Para \bar{y}:
\bar{y}=\frac{M_x}{M}=\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{1}{2}}=\tfrac{2}{3}.

Passo 7

Interpretação rápida e motivação para lembrar na prova: a densidade aumenta linearmente com y, então há mais “massa” na parte superior do quadrado, o que empurra o centro de massa para cima (de y=\tfrac{1}{2} no caso homogêneo para \bar{y}=\tfrac{2}{3} aqui). Em x a densidade é simétrica (não depende de x), por isso \bar{x}=\tfrac{1}{2} (meio do intervalo).

Resposta

\displaystyle \big(\bar{x},\bar{y}\big)=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{2}{3}\right)

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