Calcular \iint_{B}(8-x-y) d x d y, sendo B delimitada por x^{2}+y^{2}=1. Interpretar geometricamente.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral dupla
\iint_{B}(8-x-y)\,dx\,dy,
onde B é a região delimitada por x^{2}+y^{2}=1 (ou seja, o disco de raio 1 centrado na origem). As perguntas são:
  • Calcular o valor numérico da integral.
  • Interpretar geometricamente esse valor (o que representa).
As informações dadas que vamos usar são:
  • A função integranda é f(x,y)=8-x-y.
  • A região B é o disco unitário: \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.

Passo 2

Primeiro passo técnico: usar a linearidade da integral para separar a integral em partes mais simples. A propriedade é: para funções f,g integráveis e constante c,
\iint_{B}(f+g)\,dA=\iint_{B}f\,dA+\iint_{B}g\,dA, \qquad \iint_{B}c\,dA=c\iint_{B}1\,dA.
Aplicando isso em (8-x-y) obtemos
\iint_{B}(8-x-y)\,dA = \iint_{B}8\,dA - \iint_{B}x\,dA - \iint_{B}y\,dA.
Aqui dA é só uma notação para dx\,dy. A ideia é calcular cada uma das três integrais separadamente.

Passo 3

Calcular \iint_{B}8\,dA. Uma constante pode sair da integral:
\iint_{B}8\,dA = 8\iint_{B}1\,dA = 8\cdot (\text{área de }B).á
A área do disco de raio 1 é \pi. Portanto
\iint_{B}8\,dA = 8\pi.
Explicando didaticamente: integrar a função constante 8 sobre a região é igual a somar a altura 8 sobre cada ponto da região — ou seja, 8 vezes a área da região.

Passo 4

Calcular \iint_{B}x\,dA usando simetria. Observe que o disco B é simétrico em relação ao eixo y: para cada ponto (x,y)\in B o ponto (-x,y) também pertence a B. A função x é ímpar em relação a essa reflexão: x em (x,y) e -x em (-x,y). Assim as contribuições se cancelam ponto a ponto, dando integral zero:
\iint_{B}x\,dA=0.
Se quiser uma verificação via coordenadas polares: escrevendo x=r\cos\theta e dA=r\,dr\,d\theta,
\iint_{B}x\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} (r\cos\theta)\,r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{1} r^{2}dr \cdot \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta.
Mas \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0, logo a integral é 0. Ambas as explicações (simetria ou polares) mostram que o termo em x não contribui.

Passo 5

Calcular \iint_{B}y\,dA. Pela mesma razão de simetria, agora em relação ao eixo x, para cada (x,y)\in B existe (x,-y)\in B e as contribuições de y se cancelam. Logo
\iint_{B}y\,dA=0.
Via polares: y=r\sin\theta leva a um fator \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0, confirmando o resultado.

Passo 6

Juntando os resultados das três integrais:
\iint_{B}(8-x-y)\,dA = \underbrace{8\pi}_{\iint_B 8\,dA} - \underbrace{0}_{\iint_B x\,dA} - \underbrace{0}_{\iint_B y\,dA} = 8\pi.

Passo 7

Interpretação geométrica (num tom amigo): a integral dupla \iint_{B}(8-x-y)\,dA representa o volume entre a superfície definida por z=8-x-y (um plano inclinado) e o plano z=0, sobre a região do plano xy dada pelo disco B. O que aconteceu aqui é que o plano tem altura média exatamente 8 sobre o disco porque as variações lineares em x e y têm média zero no disco (os termos em x e y se cancelam por simetria). Assim o volume é simplesmente a altura média 8 vezes a área do disco \pi, dando 8\pi. Em termos intuitivos: o plano está “inclinadinho”, mas essa inclinação não produz volume líquido porque a subida num lado é equilibrada pela descida no outro.

Resposta

8\pi

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