Calcule a circulaçã do campo vetorial F ao redor da curva C, de duas maneiras: por um cálculo direto e usando o Teorema de Stokes.
(a) F=(z1 x, y) ; C a curva x^2+y^2=4 e z=0.
(b) F=(y, x, z) ; C a curva x^2+y^2+z^2=4, x^2+y^2=z^2 e z >= 0.
© F=(2 x z, y, z) ; C a curva obtida pela interseção do plano x+y+2 z=2 com os planos coordenados.
(d) F=(y, x, x+y) ; C a curva x^2+y^2=z e z=1.
(e) F=z^2 i ; C a curva x^2+y^2+z^2=16, x=0, y=0 e z=0.
(f) F=(z y^2, x z^2, x^2 y) ; C a curva x=y^2+z^2, x=9 e n=i.
(g) F=y^2 i+z^2 j, com C a curva x^2+y^2=9,3 y+4 z=5 e n=15(3 j+4 k).
(h) F=(y, x, z) ; C a curva x^2+y^2+z^2=1, x=z e n=1raiz2(-i+k).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) desse exercício. A gente precisa calcular a circulação do campo vetorial F = (z x, y) ao redor da curva C, que é o círculo x^2+y^2=4 no plano z=0. Para isso, vamos usar duas abordagens: um cálculo direto e o Teorema de Stokes. Vamos precisar saber sobre integrais de linha e o Teorema de Stokes.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer o cálculo direto da circulação. A circulação é dada por:
ointC F cdot dr
Como z = 0 na curva C, o campo vetorial fica F = (0, y).

Passo 3

Vamos parametrizar a curva C. Como é um círculo de raio 2 no plano z=0, podemos usar:
x = 2 cos theta, y = 2 sin theta, z = 0, theta in [0, 2pi]
Derivando em relação a theta, temos:
dx = -2 sin theta, dtheta, dy = 2 cos theta, dtheta, dz = 0
Então, o vetor diferencial dr é:
dr = (-2 sin theta, 2 cos theta, 0), dtheta

Passo 4

Agora, vamos calcular F cdot dr:
F cdot dr = (0, y) cdot (-2 sin theta, 2 cos theta) = 0 cdot (-2 sin theta) + y cdot 2 cos theta = 2 y cos theta
Substituindo y = 2 sin theta:
F cdot dr = 2 cdot 2 sin theta cdot cos theta = 4 sin theta cos theta

Passo 5

Vamos integrar de theta = 0 a theta = 2pi:
ointC F cdot dr = integral0^2pi 4 sin theta cos theta, dtheta
Usando a identidade trigonométrica 2 sin theta cos theta = sin 2theta:
4 sin theta cos theta = 2 sin 2theta
Então,
ointC F cdot dr = 2 integral0^2pi sin 2theta, dtheta = 2 [ -12 cos 2theta ]0^2pi = -cos 4pi + cos 0 = -1 + 1 = 0

Passo 6

Agora, vamos usar o Teorema de Stokes para verificar. O Teorema de Stokes relaciona a circulação do campo vetorial à integral de superfície da rotacional de F:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n, dS
Primeiro, calculamos a rotacional de F:
F = (z x, y, 0)
nabla times F = ( partial 0partial y - partial ypartial z, partial 0partial z - partial (z x)partial x, partial ypartial x - partial (z x)partial y ) = ( 0 - 0, 0 - z, 0 - 0 ) = (0, -z, 0)
Como z=0 na superfície S,
nabla times F = (0, 0, 0)
Então,
integral duplaS (nabla times F) cdot n, dS = 0

Resposta

A circulação do campo vetorial F ao redor da curva C é igual a zero.

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