Calcule a circulaçã do campo vetorial
ao redor da curva
, de duas maneiras: por um cálculo direto e usando o Teorema de Stokes.
(a)
a curva
e
.
(b)
a curva
e
.
©
a curva obtida pela interseção do plano
os planos coordenados.
(d)
a curva
e
.
(e)
a curva
e
.
(f)
a curva
e
.
(g)
, com
a curva
e
.
(h)
a curva
e
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte (a) desse exercício. A gente precisa calcular a circulação do campo vetorial
ao redor da curva
, que é o círculo
no plano
. Para isso, vamos usar duas abordagens: um cálculo direto e o Teorema de Stokes. Vamos precisar saber sobre integrais de linha e o Teorema de Stokes.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer o cálculo direto da circulação. A circulação é dada por:
Como
na curva
, o campo vetorial fica
.
Passo 3
Vamos parametrizar a curva
. Como é um círculo de raio 2 no plano
, podemos usar:
Derivando em relação a
, temos:
Então, o vetor diferencial
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Substituindo
:
Passo 5
Vamos integrar de
a
:
Usando a identidade trigonométrica
:
Então,
Passo 6
Agora, vamos usar o Teorema de Stokes para verificar. O Teorema de Stokes relaciona a circulação do campo vetorial à integral de superfície da rotacional de
:
Primeiro, calculamos a rotacional de
:
Como
na superfície
,
Então,
Resposta
A circulação do campo vetorial
ao redor da curva
é igual a zero.