Calcule integral duplaS g(x, y, z) d S abaixo.
(a) g(x, y, z)=x^2+y^2+z^2; S é a parte do plano z=y+4 interior ao cilindro x^2+y^2=4
(b) g(x, y, z)=x+y ; S é parte do primeiro octante do plano 2 x+3 y+z=6
© g(x, y, z)=(x^2+y^2+z^2)^1 / 2 ; S é a porçào do paraboloide 2 z=x^2+y^2 interior ao cilindro x^2+y^2=2 y.

Passo 1

O exercício pede para calcular integrais de superfície do tipo ∬_S g(x,y,z) dS em três casos diferentes. Vamos usar a fórmula de integral de superfície para um gráfico z=f(x,y):
Se S: z=f(x,y) e D é a projeção de S no plano xy, então
integral duplaS g(x,y,z),dS = integral duplaD gl(x,y,f(x,y)r),raiz1+fx^2+fy^2,dA
Para cada item, identificamos f(x,y), calculamos as derivadas parciais, montamos a integral dupla em coordenadas adequadas e resolvemos.

Passo 2

Para (a) temos S: z=y+4, D: x2+y2\le4, e g=x2+y2+z^2. Então f_x=0, f_y=1, \sqrt{1+02+12}=\sqrt2, e z=y+4 dá
g(x,y,y+4)=x^2+y^2+(y+4)^2=x^2+2y^2+8y+16
A integral fica
integral duplaSg,dS =raiz2integral duplax^2+y^2<=4(x^2+2y^2+8y+16),dA
Em polares (x=r\cosθ, y=r\sinθ), r∈[0,2], θ∈[0,2π], computa-se termo a termo e obtém-se 76π. Multiplicando por √2 vem:

Passo 3

Logo o resultado do item (a) é
76raiz2,pi

Passo 4

Para (b), z=6−2x−3y, S no 1º octante implica D: x≥0,y≥0,2x+3y≤6. Temos g=x+y e f_x=−2, f_y=−3, então \sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}. Assim
integral duplaS(x+y),dS =raiz14integral duplaD(x+y),dA
D é o triângulo com vértices (0,0),(3,0),(0,2). Calcula-se ∬_D x dA=3 e ∬_D y dA=2, somando 5. Multiplicando por √14 dá:

Passo 5

O resultado do item (b) é
5raiz14

Passo 6

No item ©, S: z=\tfrac{x2+y2}{2}, D é o disco x2+y2\le2y, i.e. em polares r\le2\sinθ, θ∈[0,π]. Temos g=\sqrt{x2+y2+z^2} e f_x=x, f_y=y, logo \sqrt{1+x2+y2}=\sqrt{1+r^2}. Assim
integral duplaSg,dS =integral duplaDraizr^2+l(tfracr^22r)^2;raiz1+r^2;dA =integral0^piintegral0^2sinθ!rraizr^2+tfracr^44;raiz1+r^2;r,dr,dθ
Podemos simplificar a integral interna como
Ic =integral0^piintegral0^2sinθr^22raiz(r^2+1)(r^2+4),dr,dθ
Este é o valor exato da integral de superfície do item ©.

Resposta

(a) 76raiz2,pi
(b) 5raiz14
© integral0^piintegral0^2sinthetar^22raiz(r^2+1)(r^2+4),dr,dtheta.

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