Calcule
abaixo.
(a)
;
é a parte do plano
interior ao cilindro
(b)
é parte do primeiro octante do plano
©
é a porçào do paraboloide
interior ao cilindro
.
(a)
(b)
©
Passo 1
O exercício pede para calcular integrais de superfície do tipo ∬_S g(x,y,z) dS em três casos diferentes. Vamos usar a fórmula de integral de superfície para um gráfico z=f(x,y):
Se S: z=f(x,y) e D é a projeção de S no plano xy, então
Para cada item, identificamos f(x,y), calculamos as derivadas parciais, montamos a integral dupla em coordenadas adequadas e resolvemos.
Passo 2
Para (a) temos S: z=y+4, D: x2+y2\le4, e g=x2+y2+z^2. Então f_x=0, f_y=1, \sqrt{1+02+12}=\sqrt2, e z=y+4 dá
A integral fica
Em polares (x=r\cosθ, y=r\sinθ), r∈[0,2], θ∈[0,2π], computa-se termo a termo e obtém-se 76π. Multiplicando por √2 vem:
Passo 3
Logo o resultado do item (a) é
Passo 4
Para (b), z=6−2x−3y, S no 1º octante implica D: x≥0,y≥0,2x+3y≤6. Temos g=x+y e f_x=−2, f_y=−3, então \sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}. Assim
D é o triângulo com vértices (0,0),(3,0),(0,2). Calcula-se ∬_D x dA=3 e ∬_D y dA=2, somando 5. Multiplicando por √14 dá:
Passo 5
O resultado do item (b) é
Passo 6
No item ©, S: z=\tfrac{x2+y2}{2}, D é o disco x2+y2\le2y, i.e. em polares r\le2\sinθ, θ∈[0,π]. Temos g=\sqrt{x2+y2+z^2} e f_x=x, f_y=y, logo \sqrt{1+x2+y2}=\sqrt{1+r^2}. Assim
Podemos simplificar a integral interna como
Este é o valor exato da integral de superfície do item ©.
Resposta
(a)
(b)
© .
(b)
©