Exercísio 4 (2 pontos). Calcule
Passo 1
Vamos calcular a integral definida
. Aqui estamos lidando com cálculo de integrais, mais especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver essa integral, vamos precisar identificar duas partes na expressão que correspondem a
e
na fórmula de integração por partes.
Passo 2
A fórmula de integração por partes é:
Para aplicar essa fórmula, precisamos escolher qual parte da integral será
e qual será
. Geralmente, escolhemos
como a parte que simplifica ao derivarmos, e
como a parte que é fácil de integrar.
No nosso caso, vamos escolher:
-
(pois a derivada de é simples) -
(pois é fácil de integrar)
Passo 3
Agora, vamos derivar
e integrar
para encontrar
e
:
Passo 4
Substituindo
,
,
e
na fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral restante:
Substituindo de volta:
Passo 6
Como queremos a integral definida de 0 a 1, vamos aplicar os limites de integração:
Simplificando cada parte:
Para
:
Para
:
Então, a integral definida fica: