Exercísio 4 (2 pontos). Calcule
integral0^1 x e^2 x d x

Passo 1

Vamos calcular a integral definida integral0^1 x e^2 x d x. Aqui estamos lidando com cálculo de integrais, mais especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver essa integral, vamos precisar identificar duas partes na expressão que correspondem a u e dv na fórmula de integração por partes.

Passo 2

A fórmula de integração por partes é:
integral u , dv = u v - integral v , du
Para aplicar essa fórmula, precisamos escolher qual parte da integral será u e qual será dv. Geralmente, escolhemos u como a parte que simplifica ao derivarmos, e dv como a parte que é fácil de integrar.
No nosso caso, vamos escolher:
  • u = x (pois a derivada de x é simples)
  • dv = e^2x dx (pois é fácil de integrar)

Passo 3

Agora, vamos derivar u e integrar dv para encontrar du e v:
du = ddx (x) dx = 1 cdot dx = dx
v = integral e^2x dx = 12 e^2x

Passo 4

Substituindo u, v, du e dv na fórmula de integração por partes:
integral x e^2x dx = u v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x e^2x dx = x cdot 12 e^2x - integral 12 e^2x dx
Simplificando:
integral x e^2x dx = 12 x e^2x - 12 integral e^2x dx

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral restante:
integral e^2x dx = 12 e^2x + C
Substituindo de volta:
integral x e^2x dx = 12 x e^2x - 12 cdot 12 e^2x + C
integral x e^2x dx = 12 x e^2x - 14 e^2x + C

Passo 6

Como queremos a integral definida de 0 a 1, vamos aplicar os limites de integração:
[ 12 x e^2x - 14 e^2x ]0^1 = ( 12 cdot 1 cdot e^2 - 14 e^2 ) - ( 12 cdot 0 cdot e^0 - 14 e^0 )
Simplificando cada parte:
Para x = 1:
12 e^2 - 14 e^2 = 14 e^2
Para x = 0:
0 - 14 e^0 = -14
Então, a integral definida fica:
14 e^2 - (-14) = 14 e^2 + 14 = e^2 + 14

Resposta

integral0^1 x e^2 x d x = e^2 + 14

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