Calcule a circulação do vetor $\mathbf{A}$ ao longo do caminho $\mathrm{L}(\mathrm{S})$ e o fluxo do rotacional do vetor A na superfície S para os seguintes vetores:
$\mathbf{A}=y \mathbf{i}$

O enunciado pede para calcular a circulação de

\mathbf{A}=y\,\mathbf{i}

ao longo da curva fechada

L(S)

que é o contorno do retângulo de vértices

(0,0)

(2,0)

(2,1)

(0,1)

no plano

xy

, orientada no sentido anti-horário, e também o fluxo de

\nabla\times \mathbf{A}

através da superfície

S

(o próprio retângulo). Vamos usar:

Definição de circulação $\displaystyle \oint_{L} \mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}$ .
Cálculo do rotacional $\nabla\times \mathbf{A}$ e definição de fluxo $\displaystyle \iint_{S}(\nabla\times \mathbf{A})\cdot \mathbf{n}\,dS$ , com $\mathbf{n}=\mathbf{k}$ .

Para a circulação

\displaystyle \oint_{L} \mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}

parametricemos cada lado:

Lado inferior $(0,0)\to(2,0)$ : $y=0$ , $d\mathbf{r}=(dx,0)$ , logo $\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}=y\,dx=0$ .
Lado direito $(2,0)\to(2,1)$ : $x=2$ , $d\mathbf{r}=(0,dy)$ , logo $\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}=y\cdot0=0$ .
Lado superior $(2,1)\to(0,1)$ : $y=1$ , $d\mathbf{r}=(dx,0)$ com $x$ de $2$ a $0$ , então $\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}=1\cdot dx$ e

\int_{2}^{0}1\,dx = -2.

Lado esquerdo $(0,1)\to(0,0)$ : $x=0$ , $d\mathbf{r}=(0,dy)$ , logo $\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}=0$ .
Somando os quatro lados, a circulação é $-2$ .

Calculemos o rotacional de

\mathbf{A}

\nabla\times \mathbf{A} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \partial_x&\partial_y&\partial_z\\\ y&0&0 \end{vmatrix} =(0,0\,;\,\partial_x0-\partial_y y) =(0,0,-1).

O fluxo de

\nabla\times \mathbf{A}

através de

S

\iint_{S}(\nabla\times \mathbf{A})\cdot\mathbf{n}\,dS =\iint_{S}(0,0,-1)\cdot(0,0,1)\,dS =\iint_{S}(-1)\,dS =-1\cdot(\text{área de }S).á

Como

S

é o retângulo de base

2

e altura

1

, sua área é

2

. Logo o fluxo é

-2

A circulação de

\mathbf{A}

L(S)

-2

.
O fluxo de

\nabla\times\mathbf{A}

através de

S

-2

Calcule a circulação do vetor \mathbf{A} ao longo do caminho \mathrm{L}(\mathrm{S}) e o fluxo do rotacional do vetor A na superfície S para os seguintes vetores: \mathbf{A}=y \mathbf{i}