Calcule a circulação do vetor $\mathbf{A}$ ao longo do caminho $\mathrm{L}(\mathrm{S})$ e o fluxo do rotacional do vetor A na superfície S para os seguintes vetores:
$\mathbf{A}=2 x \mathbf{i}$

Resumimos o enunciado: o campo é

\mathbf{A}=2x\,\mathbf{i}

no plano

xy

, e

S

é o retângulo definido por

0\le x\le2

0\le y\le1

. A curva

L(S)

é a fronteira desse retângulo percorrida no sentido anti-horário. Vamos calcular
– a circulação

\displaystyle\oint_{L(S)}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}

,
– o fluxo de

\nabla\times\mathbf{A}

através de

S

Calculamos o rotacional de

\mathbf{A}

. Como

\mathbf{A}=(A_x,A_y,A_z)=(2x,0,0)

\nabla\times\mathbf{A} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \partial/\partial x&\partial/\partial y&\partial/\partial z\\\\ 2x&0&0 \end{vmatrix} =\mathbf{0}.

Fluxo de

\nabla\times\mathbf{A}

por

S

. Como

\nabla\times\mathbf{A}=\mathbf{0}

\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{A})\cdot\mathbf{n}\,dS =\iint_{S}0\,dS=0.

Circulação

\displaystyle\oint_{L(S)}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}

. Pelo teorema de Stokes temos

\oint_{L(S)}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r} =\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{A})\cdot\mathbf{n}\,dS =0.

Para confirmar, podemos parametrizar os quatro lados de

L(S)

:
– Base

(0,0)\to(2,0)

d\mathbf{r}=(dx,0)

\mathbf{A}=(2x,0)

, portanto

\int_{0}^{2}2x\,dx=4.

– Lateral direita

(2,0)\to(2,1)

d\mathbf{r}=(0,dy)

\mathbf{A}=(4,0)

dá

0

.
– Topo

(2,1)\to(0,1)

d\mathbf{r}=(dx,0)

com

x

2

0

dá

\int_{2}^{0}2x\,dx=-4.

– Lateral esquerda

(0,1)\to(0,0)

\mathbf{A}=(0,0)

dá

0

.
Somando

4+0-4+0=0

Circulação:

0

Fluxo do rotacional:

0

Calcule a circulação do vetor \mathbf{A} ao longo do caminho \mathrm{L}(\mathrm{S}) e o fluxo do rotacional do vetor A na superfície S para os seguintes vetores: \mathbf{A}=2 x \mathbf{i}