Considere o seguinte campo vetorial: $\mathbf{A}=\left(x^{3}, x y, z^{2}+x+y\right)$ . Determine o divergente e o rotacional desse campo.

O enunciado nos dá o campo vetorial

\mathbf{A}(x,y,z) = \bigl(x^{3},\,x y,\;z^{2}+x+y\bigr)

e pede para calcular o divergente

\nabla\cdot\mathbf{A}

e o rotacional

\nabla\times\mathbf{A}

. Vamos usar as definições padrão de cálculo vetorial em coordenadas cartesianas, que envolvem derivadas parciais de cada componente.

Para o divergente, usamos

\nabla\cdot\mathbf{A} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy\bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\bigl(z^{2}+x+y\bigr).

Calculemos cada termo:

\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2},\quad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy\bigr)=x,\quad \frac{\partial}{\partial z}\bigl(z^{2}+x+y\bigr)=2z.

Portanto

\nabla\cdot\mathbf{A}=3x^{2}+x+2z.

Para o rotacional, usamos

\nabla\times\mathbf{A} =\biggl( \frac{\partial A_{z}}{\partial y}-\frac{\partial A_{y}}{\partial z}, \;\frac{\partial A_{x}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial x}, \;\frac{\partial A_{y}}{\partial x}-\frac{\partial A_{x}}{\partial y} \biggr).

Chamando

A_{x}=x^{3}

A_{y}=xy

A_{z}=z^{2}+x+y

, temos:

\frac{\partial A_{z}}{\partial y}=1,\quad \frac{\partial A_{y}}{\partial z}=0,

\frac{\partial A_{x}}{\partial z}=0,\quad \frac{\partial A_{z}}{\partial x}=1,

\frac{\partial A_{y}}{\partial x}=y,\quad \frac{\partial A_{x}}{\partial y}=0.

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\nabla\times\mathbf{A} = \bigl(1-0,\;0-1,\;y-0\bigr) = (1,\,-1,\,y).

\displaystyle \nabla\cdot\mathbf{A}=3x^{2}+x+2z \displaystyle \nabla\times\mathbf{A}=(1,\,-1,\,y)

Considere o seguinte campo vetorial: \mathbf{A}=\left(x^{3}, x y, z^{2}+x+y\right). Determine o divergente e o rotacional desse campo.