Determine a derivada.
$g(x)=\ln (5 x) \operatorname{sen} x$

Passo 1

O enunciado pede a derivada de

g(x)=\ln(5x)\,\sin x.

O conteúdo que usamos é cálculo de derivada de um produto de funções, aplicando a regra do produto e a regra da cadeia (para

\ln(5x)

).

Passo 2

Derivada de

\ln(5x)

: seja

u=5x

, então

\ln(5x)=\ln(u)

e

\frac{d}{dx}\ln(5x) =\frac{d}{dx}\ln(u) =\frac{u'}{u} =\frac{5}{5x} =\frac{1}{x}.

Passo 3

Derivada de

\sin x

:

\frac{d}{dx}\sin x=\cos x.

Passo 4

Aplicando a regra do produto,

g'(x) =\frac{d}{dx}\bigl[\ln(5x)\bigr]\cdot\sin x +\ln(5x)\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\sin x\bigr] =\frac{1}{x}\,\sin x+\ln(5x)\,\cos x.

Resposta

g'(x)=\frac{1}{x}\,\sin x+\ln(5x)\,\cos x.

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