1. Calcule o coeficiente de difusão do etanol em uma mistura contendo 50 \% molar de benzeno e 50 \% molar de clorofórmio a 288 K .
    Dado: Coeficiente de difusão em diluição infinita de etanol em benzeno a 303 K é 3.06 x 10^{-9} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} e de etanol em clorofórmio a 288 K é 2.20 \times 10^{-9} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}. Viscosidade do Benzeno a 288 K igual a 700 \times 10^{-6} \mathrm{~Pa} . \mathrm{s}, a 303 K igual a 560 \times 10^{-6} \mathrm{~Pa} . \mathrm{se} do Clorofórmio a 288 K igual a 562 \times 10^{-6} \mathrm{~Pa} . \mathrm{S}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele fornece.
  • Pergunta: Calcular o coeficiente de difusão do etanol em uma mistura contendo 50\% molar de benzeno e 50\% molar de clorofórmio a 288\\ \text{K}.
  • Dados fornecidos:
    • Coeficiente de difusão em diluição infinita de etanol em benzeno a 303\\ \text{K}: D_{\text{EtOH-in-Bz}}(303\\ \text{K}) = 3,06\times10^{-9}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
    • Coeficiente de difusão em diluição infinita de etanol em clorofórmio a 288\\ \text{K}: D_{\text{EtOH-in-CHCl}_3}(288\\ \text{K}) = 2,20\times10^{-9}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
    • Viscosidades:
      • Benzeno a 288\\ \text{K}: \eta_{\text{Bz}}(288\\ \text{K}) = 700\times10^{-6}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
      • Benzeno a 303\\ \text{K}: \eta_{\text{Bz}}(303\\ \text{K}) = 560\times10^{-6}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
      • Clorofórmio a 288\\ \text{K}: \eta_{\text{CHCl}_3}(288\\ \text{K}) = 562\times10^{-6}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Observação importante: o dado de difusão em benzeno está a 303\\ \text{K} e precisamos do coeficiente a 288\\ \text{K}. Além disso, temos que estimar o coeficiente em uma mistura 50/50 molar de solventes a 288\\ \text{K}.

Passo 2

Escolha do método (por que este método) e princípio físico usado para ajustar temperatura/viscosidade.
  • Justificativa rápida: para o mesmo soluto (etanol) a raio hidrodinâmico efetivo muda pouco entre solventes; portanto, para ajustar D de um solvente para outra temperatura podemos usar a dependência aproximada dada pela equação de Stokes–Einstein:
D=\dfrac{k_B T}{6\pi\eta r},
onde:
  • D é o coeficiente de difusão;
  • k_B é a constante de Boltzmann (constante universal, não precisamos do valor numérico aqui);
  • T é a temperatura absoluta (em K);
  • \eta é a viscosidade do solvente;
  • r é o raio hidrodinâmico efetivo do soluto (assumido aproximadamente constante).
  • Da expressão acima segue a proporcionalidade útil:
D\propto \dfrac{T}{\eta}.
  • Vou usar essa proporcionalidade para levar D_{\text{EtOH-in-Bz}} de 303\\ \text{K} para 288\\ \text{K}, corrigindo pela variação de temperatura e pela mudança da viscosidade do benzeno entre essas temperaturas.

Passo 3

Cálculo de D do etanol em benzeno a 288\\ \text{K} usando a proporcionalidade D\propto T/\eta.
  • Relação de escala:
D_{\text{Bz}}(288)=D_{\text{Bz}}(303)\cdot\dfrac{T_{288}}{T_{303}}\cdot\dfrac{\eta_{\text{Bz}}(303)}{\eta_{\text{Bz}}(288)}.
  • Substituindo os valores (todos em notação científica e com unidades consistentes):
D_{\text{Bz}}(288)=\left(3,06\times10^{-9}\right)\cdot\dfrac{288}{303}\cdot\dfrac{560\times10^{-6}}{700\times10^{-6}}.
  • Simplificando a fração de viscosidades \dfrac{560\times10^{-6}}{700\times10^{-6}}=\dfrac{560}{700}=0,8. Então:
D_{\text{Bz}}(288)=3,06\times10^{-9}\cdot\dfrac{288}{303}\cdot0,8.
  • Calculemos passo a passo:
    • \dfrac{288}{303}\approx0,950495.
    • Produto dos fatores: 0,950495\times0,8=0,760396 (aprox.).
    • Multiplicando pelo D original:
D_{\text{Bz}}(288)\approx3,06\times10^{-9}\times0,760396 \approx 2,3268\times10^{-9}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Passo 4

Escolha do método para estimar D do etanol na mistura 50/50 molar e justificativa.
  • Temos dois coeficientes de difusão, ambos a 288\\ \text{K}:
    • D_{\text{Bz}}(288) (calculado no passo anterior) e
    • D_{\text{CHCl}_3}(288)=2,20\times10^{-9}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s} (dado).
  • Para estimar o coeficiente de difusão de um soluto em uma mistura de solventes, um procedimento empírico comum é usar a equação de Vignes (uma regra de mistura do tipo exponencial), que costuma funcionar razoavelmente bem para difusividades líquidas:
\ln D_{\text{mix}} = x_{\text{Bz}}\ln D_{\text{Bz}} + x_{\text{CHCl}_3}\ln D_{\text{CHCl}_3},
onde x_i são as frações molares dos solventes. Essa equação dá uma média logarítmica (equivalente a média geométrica quando as frações são iguais).
  • Motivo da escolha: é simples, amplamente usada para difusividades em misturas e mais realista que uma média aritmética direta porque difusão frequentemente varia de forma multiplicativa com a composição.

Passo 5

Aplicação da equação de Vignes para a mistura 50\%/ 50\% molar.
  • Como a mistura é 50\% molar de cada solvente, temos x_{\text{Bz}}=x_{\text{CHCl}_3}=0,5.
  • Então:
\ln D_{\text{mix}} = 0,5\ln D_{\text{Bz}}(288) + 0,5\ln D_{\text{CHCl}_3}(288)
o que é equivalente a
D_{\text{mix}} = \sqrt{D_{\text{Bz}}(288)\cdot D_{\text{CHCl}_3}(288)}.
  • Substituindo os valores numéricos:
D_{\text{mix}} = \sqrt{\left(2,3268\times10^{-9}\right)\cdot\left(2,20\times10^{-9}\right)}.
  • Produto dentro da raiz:
2,3268\times2,20 = 5,11896\quad\Rightarrow\quad \text{produto} = 5,11896\times10^{-18}.
  • Raiz quadrada:
D_{\text{mix}} = \sqrt{5,11896\times10^{-18}} = \sqrt{5,11896}\times10^{-9}\approx2,2623\times10^{-9}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Passo 6

Interpretação e apresentação do resultado com algarismos significativos e comentário curto de confiança.
  • Resultado final arredondado a três algarismos significativos:
D_{\text{EtOH in (50\% Bz + 50\% CHCl}_3)}(288\\ \text{K}) \approx 2,26\times10^{-9}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • Observação: o procedimento usa duas aproximações principais:
    1. proporcionalidade D\propto T/\eta (Stokes–Einstein) para ajustar a temperatura do benzeno;
    2. regra de mistura logarítmica (Vignes) para a mistura de solventes.
      Essas aproximações são típicas em problemas de estimativa prática; a resposta deve ser entendida como uma estimativa razoável, não uma medição exata.

Resposta

2,26\times10^{-9}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}

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