1. Calcule o coeficiente de difusão do dióxido de carbono em nitrogênio a 25^{\circ} \mathrm{C} sabendo que o volume molar do nitrogênio a 25^{\circ} \mathrm{C} é 25.17 \mathrm{~L} / \mathrm{gmol}. Justifique a escolha do modelo.
    Dica: O Nitrogênio pode ser considerado um gás ideal.

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • O enunciado pede o coeficiente de difusão do dióxido de carbono em nitrogênio nas condições de 25^\circ\mathrm{C}.
  • Informação dada: o volume molar do nitrogênio a 25^\circ\mathrm{C} é V_m(\mathrm{N_2}) = 25{,}17\\ \mathrm{L}\,\mathrm{gmol}^{-1}.
  • Dica do enunciado: o nitrogênio pode ser considerado gás ideal.
Resumo das perguntas: calcular D_{\mathrm{CO_2}-\mathrm{N_2}} a 25^\circ\mathrm{C} usando a informação do volume molar (logo é preciso obter a pressão) e justificar o modelo escolhido.

Passo 2

Escolha do modelo e justificativa (de forma didática, sem pular etapas).
  • Para difusão binária de gases em condições próximas a baixas pressões e temperatura ambiente, o método prático e com boa precisão para uso em provas é a correlação empírica de Fuller, Schettler e Giddings. Essa correlação estima o coeficiente de difusão molecular D_{AB} a partir de propriedades moleculares (massas molares e volumes de difusão) e das condições T e P.
  • Justificativa: a correlação de Fuller é simples de aplicar (não exige parâmetros de Lennard-Jones nem integrais de colisão) e fornece resultados normalmente com erro pequeno (alguns poucos por cento) para pares gasosos comuns como \mathrm{CO_2} e \mathrm{N_2}. Como o enunciado fornece o volume molar do nitrogênio e diz que ele é ideal, usar uma correlação em função de P e T é apropriado.

Passo 3

Apresentação da fórmula de Fuller e explicação de cada termo.
A correlação de Fuller para coeficiente de difusão binária vale (unidades usuais indicadas abaixo):
D_{AB} = 0{,}00143\;\frac{T^{1{,}75}}{P\;\sqrt{M_A+M_B}\;\bigl(V_A^{1/3}+V_B^{1/3}\bigr)^2}
onde
  • D_{AB} está em \mathrm{cm}^2\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1},
  • T está em \mathrm{K},
  • P está em \mathrm{atm},
  • M_A e M_B são as massas molares em \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1},
  • V_A e V_B são os volumes de difusão (tabela de Fuller) em \mathrm{cm}^3\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1}.
Comentários pedagógicos:
  • A constante 0{,}00143 e os expoentes foram ajustados empiricamente por Fuller et al.; a fórmula incorpora o fato físico de que D cresce com temperatura e decresce com pressão.
  • O termo \sqrt{M_A+M_B} aparece porque difusão relativa depende da mobilidade molecular combinada; o termo (V_A^{1/3}+V_B^{1/3})^2 representa um tamanho efetivo combinando os volumes de difusão.

Passo 4

Obter T e P a partir dos dados do enunciado (uso do gás ideal).
  • Temperatura: 25^\circ\mathrm{C} = 25 + 273{,}15 = 298{,}15\\ \mathrm{K}. Então T = 298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • O enunciado deu V_m(\mathrm{N_2}) = 25{,}17\\ \mathrm{L}\,\mathrm{gmol}^{-1}. Pelo gás ideal:
P = \frac{R\,T}{V_m},
onde R = 0{,}082057\\ \mathrm{L}\,\mathrm{atm}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}.
  • Calculando:
P = \frac{0{,}082057\cdot 298{,}15}{25{,}17} = 0{,}9713\\ \mathrm{atm}\\ (\text{aprox.}).
Explicação curta: usamos PV_m=RT para encontrar a pressão real do nitrogênio nas condições do enunciado; é por isso que a informação do volume molar era necessária.

Passo 5

Valores das massas molares e volumes de difusão (tabelados) que vamos usar.
  • Massas molares:
    • M_{\mathrm{CO_2}} = 44{,}01\\ \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}.
    • M_{\mathrm{N_2}} = 28{,}013\\ \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}.
  • Volumes de difusão (tabelas de Fuller; estes valores são padrão em problemas deste tipo):
    • V_{\mathrm{CO_2}} = 26{,}9\\ \mathrm{cm}^3\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1}.
    • V_{\mathrm{N_2}} = 18{,}5\\ \mathrm{cm}^3\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1}.
Comentário didático: os volumes de difusão V são quantidades empíricas (obtidas e tabuladas por Fuller) que representam «tamanhos de difusão» das moléculas; usar a tabela é aceitável numa prova.

Passo 6

Cálculos intermediários (avaliar cada termo da fórmula com cuidado para poder fazer à mão).
  • Soma das massas:
M_{\mathrm{CO_2}} + M_{\mathrm{N_2}} = 44{,}01 + 28{,}013 = 72{,}023\\ \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}.
\sqrt{M_{\mathrm{CO_2}} + M_{\mathrm{N_2}}} = \sqrt{72{,}023} = 8{,}4854\\ (\text{aprox.}).
  • Raízes cúbicas dos volumes de difusão:
V_{\mathrm{CO_2}}^{1/3} = 26{,}9^{1/3} = 2{,}999\\ (\text{aprox.}), \qquad V_{\mathrm{N_2}}^{1/3} = 18{,}5^{1/3} = 2{,}646\\ (\text{aprox.}).
V_{\mathrm{CO_2}}^{1/3} + V_{\mathrm{N_2}}^{1/3} = 2{,}999 + 2{,}646 = 5{,}645.
\bigl(V_{\mathrm{CO_2}}^{1/3} + V_{\mathrm{N_2}}^{1/3}\bigr)^2 = 5{,}645^2 = 31{,}857\\ (\text{aprox.}).
  • Potência da temperatura:
T^{1{,}75} = 298{,}15^{1{,}75} \approx 21\,484\\ (\text{aprox.}).
Observação: os arredondamentos aqui são suficientes para obter uma resposta com precisão típica exigida em provas (alguns algarismos significativos).

Passo 7

Aplicar a fórmula de Fuller e obter D_{\mathrm{CO_2}-\mathrm{N_2}}.
Substituindo todos os termos na fórmula:
D_{AB} = 0{,}00143\;\frac{T^{1{,}75}}{P\;\sqrt{M_A+M_B}\;\bigl(V_A^{1/3}+V_B^{1/3}\bigr)^2}
D_{\mathrm{CO_2}-\mathrm{N_2}} = 0{,}00143\;\frac{21\,484}{0{,}9713\cdot 8{,}4854 \cdot 31{,}857}.
Calcule o denominador:
0{,}9713\cdot 8{,}4854 \cdot 31{,}857 \approx 262{,}53.
Calcule o numerador:
0{,}00143\cdot 21\,484 \approx 30{,}733.
Portanto
D_{\mathrm{CO_2}-\mathrm{N_2}} \approx \frac{30{,}733}{262{,}53} = 0{,}11709\\ \mathrm{cm}^2\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1}.

Passo 8

Conversão para unidades do Sistema Internacional e verificação final.
  • Converter \mathrm{cm}^2\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1} para \mathrm{m}^2\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1}: 1\\ \mathrm{cm}^2\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1} = 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1}.
D_{\mathrm{CO_2}-\mathrm{N_2}} = 0{,}11709\\ \mathrm{cm}^2\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1} = 1{,}1709\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^2\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1}.
Breve reconforto: o valor obtido é da ordem de 10^{-5}\\ \mathrm{m}^2\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1}, que é a ordem de grandeza típica para difusão de gases em pressão próxima de 1 atm — então faz sentido.

Resposta

D_{\mathrm{CO_2}-\mathrm{N_2}} \approx 0{,}1171\\ \mathrm{cm}^2\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1}\n
D_{\mathrm{CO_2}-\mathrm{N_2}} \approx 1{,}17\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^2\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1}

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