A) Calcule o coeficiente médio de atividade para as seguintes soluções aquosas, a 25^{\circ} \mathrm{C}: 5 \mathrm{mmolal} \mathrm{KCl} e 1 \mathrm{mmolal} \mathrm{CaBr}_{2}

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente médio de atividade (coeficiente iônico médio) para duas soluções aquosas a 25^\circ\mathrm{C}:
  • Solução 1: 5 mmolal de \mathrm{KCl}.
  • Solução 2: 1 mmolal de \mathrm{CaBr}_2.
Informações fornecidas que vou usar (peguei diretamente do enunciado):
  • As concentrações são em mmolal; vou converter para molal (mol/kg).
  • A temperatura é 25^\circ\mathrm{C} (usarei a constante de Debye–Hückel apropriada para 25^\circ\mathrm{C} em água).
O que preciso calcular:
  • O coeficiente médio de atividade \gamma_{\pm} para cada solução.

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (explicação didática):
  • Definição do coeficiente médio de atividade: para um eletrólito que se separa em v_{+} íons positivos e v_{-} íons negativos, o coeficiente médio de atividade é
\gamma_{\pm} = \left(\gamma_{+}^{\,v_{+}}\;\gamma_{-}^{\,v_{-}}\right)^{\!1/(v_{+}+v_{-})},
mas para aplicar o Debye–Hückel usamos diretamente a forma para \gamma_{\pm} (ver abaixo).
  • Força iônica I: mede a “carga efetiva” da solução e é dada por
I = \tfrac{1}{2}\sum_{i} m_i z_i^{2},
onde m_i é a molalidade do íon i (em mol/kg) e z_i é sua carga (com sinal).
  • Lei de Debye–Hückel no limite diluído (válida para soluções muito diluídas): em água a 25^\circ\mathrm{C},
\log_{10}\gamma_{\pm} = -A\,|z_{+}z_{-}|\,\sqrt{I},
onde A é a constante de Debye–Hückel para água a 25^\circ\mathrm{C}. Vou usar
A = 0,509\quad\text{(unidades: kg}^{1/2}\text{ mol}^{-1/2}),
valor apropriado quando as concentrações estão em molalidade. Explico as variáveis:
  • z_{+} e z_{-} são as cargas (sem sinal) dos íons formados pelo eletrólito;
  • I é a força iônica calculada acima;
  • \gamma_{\pm} é adimensional.
Observação didática: a lei de Debye–Hückel no limite é uma aproximação que funciona bem para I pequeno (tipicamente I \lesssim 0,01 mol/kg). Nossas soluções são bem diluídas (mmolal), então essa aproximação é adequada.

Passo 3

Conversão das concentrações de mmolal para molal (passo auxiliares fáceis):
  • 5 mmolal = 5\times10^{-3} molal = 0,005 mol/kg.
  • 1 mmolal = 1\times10^{-3} molal = 0,001 mol/kg.
Vou usar essas molalidades para calcular a força iônica.

Passo 4

Cálculo da força iônica para 5 mmolal de \mathrm{KCl}:
  • Dissociação: \mathrm{KCl}\to \mathrm{K}^{+} (z_{+}=+1) e \mathrm{Cl}^{-} (z_{-}=-1).
  • Molalidades dos íons: m_{\mathrm{K}^+}=0,005 e m_{\mathrm{Cl}^-}=0,005.
  • Aplicando a fórmula
I = \tfrac{1}{2}\big(m_{\mathrm{K}^+} z_{\mathrm{K}^+}^{2} + m_{\mathrm{Cl}^-} z_{\mathrm{Cl}^-}^{2}\big) = \tfrac{1}{2}\big(0,005\cdot 1^{2} + 0,005\cdot 1^{2}\big).
  • Calculando:
I = \tfrac{1}{2}(0,005 + 0,005) = \tfrac{1}{2}\cdot 0,010 = 0,005\\ \text{mol/kg}.

Passo 5

Cálculo da força iônica para 1 mmolal de \mathrm{CaBr}_2:
  • Dissociação: \mathrm{CaBr}_2\to \mathrm{Ca}^{2+} (z_{+}=+2) e 2\,\mathrm{Br}^{-} (z_{-}=-1).
  • Molalidades dos íons: m_{\mathrm{Ca}^{2+}}=0,001 (um mol de Ca2+ por mol de CaBr2) e m_{\mathrm{Br}^-}=2\times 0,001=0,002.
  • Aplicando a fórmula
I = \tfrac{1}{2}\big(m_{\mathrm{Ca}^{2+}} z_{\mathrm{Ca}^{2+}}^{2} + m_{\mathrm{Br}^-} z_{\mathrm{Br}^-}^{2}\big) = \tfrac{1}{2}\big(0,001\cdot 2^{2} + 0,002\cdot 1^{2}\big).
  • Calculando:
I = \tfrac{1}{2}(0,001\cdot 4 + 0,002\cdot 1)=\tfrac{1}{2}(0,004+0,002)=\tfrac{1}{2}\cdot 0,006=0,003\\ \text{mol/kg}.

Passo 6

Aplicando a lei de Debye–Hückel para \mathrm{KCl} (1:1):
  • Dados: z_{+}=1, z_{-}=1, I=0,005, A=0,509.
  • Fórmula:
\log_{10}\gamma_{\pm} = -A\,|z_{+}z_{-}|\,\sqrt{I} = -0,509\cdot(1)\cdot\sqrt{0,005}.
  • Calcule a raiz:
\sqrt{0,005} \approx 0,0707107.
  • Multiplicando:
\log_{10}\gamma_{\pm} \approx -0,509\times 0,0707107 \approx -0,0360.
  • Convertendo para \gamma_{\pm}:
\gamma_{\pm} = 10^{-0,0360}.
  • Para obter o valor numérico: 10^{-0,0360} = \exp(-0,0360\ln 10).
\ln 10 \approx 2,302585,\quad -0,0360\ln 10 \approx -0,0829,
\gamma_{\pm} \approx e^{-0,0829}\approx 0,9204.

Passo 7

Aplicando a lei de Debye–Hückel para \mathrm{CaBr}_2 (2:1):
  • Dados: z_{+}=2, z_{-}=1, |z_{+}z_{-}|=2, I=0,003, A=0,509.
  • Fórmula:
\log_{10}\gamma_{\pm} = -A\,|z_{+}z_{-}|\,\sqrt{I} = -0,509\cdot 2\cdot\sqrt{0,003}.
  • Calcule a raiz:
\sqrt{0,003}\approx 0,0547723.
  • Multiplicando:
\log_{10}\gamma_{\pm} \approx -0,509\times 2\times 0,0547723 \approx -0,05577.
  • Convertendo para \gamma_{\pm}:
\gamma_{\pm} = 10^{-0,05577}.
  • Numericamente: -0,05577\ln 10 \approx -0,1284, então
\gamma_{\pm}\approx e^{-0,1284}\approx 0,8796.

Passo 8

Interpretação curta e validação:
  • Os valores obtidos são \gamma_{\pm}\approx 0,92 para 5 mmolal de \mathrm{KCl} e \gamma_{\pm}\approx 0,88 para 1 mmolal de \mathrm{CaBr}_2.
  • Isso faz sentido fisicamente: mesmo com menor molalidade, o \mathrm{Ca}^{2+} (carga maior) aumenta os efeitos iônicos e reduz mais \gamma_{\pm}.
  • A aproximação de Debye–Hückel é adequada aqui porque as forças iônicas são baixas ( 0,003 e 0,005), dentro da faixa de validade da lei limite.

Resposta

\mathrm{KCl}\\ (5\\ \mathrm{mmolal}):\\ \gamma_{\pm}\approx 0,920
\mathrm{CaBr}_2\\ (1\\ \mathrm{mmolal}):\\ \gamma_{\pm}\approx 0,880

Exercícios relacionados