A) Equacione a partir da fórmula da constante do produto de solubilidade como a adição de um eletrólito inerte influencia a solubilidade de um sal 1:1.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar por equação como a adição de um eletrólito inerte altera a solubilidade de um sal 1:1.
Informações e hipóteses que vou usar (não peço nada a mais; já tomo estas hipóteses razoáveis):
  • O sal 1:1 se escreve MX e se dissolve segundo a reação MX(s)\rightleftharpoons M^{+}+X^{-}.
  • O eletrólito é “inerte” no sentido de que NÃO fornece o mesmo cátion nem o mesmo ânion do sal (ou seja, não há efeito de íon comum); sua presença altera apenas a força iônica da solução.
  • Vou usar atividade e coeficientes de atividade para relacionar a constante de produto de solubilidade com concentrações medíveis.
  • No final usarei a lei de Debye–Hückel (limite) para relacionar o coeficiente de atividade com a força iônica I (essa é uma aproximação válida para forças iônicas baixas).

Passo 2

Escrevendo a definição do produto de solubilidade em termos de atividades: a constante K_{sp} é dada por
K_{sp}=a_{M^+}\,a_{X^-},
onde a_{M^+} e a_{X^-} são as atividades dos íons produzidos pela dissolução. Explico: a atividade é a “concentração efetiva” que entra nas leis de equilíbrio; relaciona-se com a concentração real por um coeficiente de atividade.

Passo 3

Relação atividade ↔ concentração: para cada íon vale
a_i=\gamma_i\,[i],
onde \gamma_i é o coeficiente de atividade do íon i e [i] é a sua concentração analítica. Substituindo em K_{sp}:
K_{sp}=(\gamma_{+}[M^+])(\gamma_{-}[X^-]).

Passo 4

Para um sal 1:1, sem íons comuns, a solubilidade molar é [M^+]=[X^-]=s. Então
K_{sp}=\gamma_{+}\gamma_{-}\,s^{2}.
Se a carga absoluta dos dois íons for a mesma ( |z_+|=|z_-|=1) e se considerarmos que os coeficientes de atividade são iguais em módulo, podemos definir \gamma\equiv\gamma_{+}=\gamma_{-}. Assim
K_{sp}=\gamma^{2}s^{2}.
Isolando s obtemos a relação geral desejada:
s=\frac{\sqrt{K_{sp}}}{\gamma}.
Interpretação imediata: a solubilidade s é a solubilidade “ideal” \sqrt{K_{sp}} dividida pelo coeficiente de atividade. Se \gamma<1, então s>\sqrt{K_{sp}}.

Passo 5

Como o eletrólito inerte influencia \gamma? Isso entra pela força iônica da solução, definida por
I=\tfrac{1}{2}\sum_{i} [i]\,z_{i}^{2},
onde [i] é a concentração do íon i e z_i sua valência. Um eletrólito 1:1 adicionando concentração c_{e} contribui aproximadamente com I\approx c_{e} (pois tanto o cátion quanto o ânion de carga unitária entram na soma). Se a solubilidade s for pequena em comparação com c_e, então a contribuição de s para I é desprezível e I é controlada pelo eletrólito inerte.

Passo 6

Expressão de Debye–Hückel (forma limite, para I baixo) que liga \gamma e I:
\log_{10}\gamma=-A z^{2}\sqrt{I},
onde z é a valência do íon considerado e A é uma constante que depende da temperatura e do solvente (em água a 25^\circ\text{C} tem valor aproximado A\approx 0{,}509). Para íons monovalentes z=1 temos
\log_{10}\gamma=-A\sqrt{I}.
Daqui \gamma=10^{-A\sqrt{I}}. Substituindo na expressão de s:
s=\frac{\sqrt{K_{sp}}}{\gamma}=\sqrt{K_{sp}}\;10^{A\sqrt{I}}.
Portanto, para um sal 1:1, a solubilidade cresce com a força iônica I segundo um fator exponencial em \sqrt{I}. Em palavras simples: adicionar eletrólito inerte aumenta I, diminui \gamma, e portanto aumenta s.

Passo 7

Exemplo numérico rápido (para fixar e ganhar confiança): suponha que se adicione 0{,}10\\ \text{mol·L}^{-1} de um eletrólito 1:1. Então I\approx0{,}10 e \sqrt{I}=0{,}3162. Com A=0{,}509,
\text{fator de aumento} =10^{A\sqrt{I}}=10^{0{,}509\cdot0{,}3162}\approx10^{0{,}1609}\approx1{,}45.
Ou seja, a solubilidade aumenta em cerca de 45\% em relação à solubilidade em água muito diluída (dentro das aproximações usadas).

Passo 8

Limitações e observações importantes (para a prova e para interpretação física):
  • A expressão acima usa a forma limite de Debye–Hückel, válida para forças iônicas baixas (tipicamente I\lesssim0{,}1 mol·L ^{-1}). Para I maiores use a forma extendida: \log_{10}\gamma=-\dfrac{A z^{2}\sqrt{I}}{1+B a\sqrt{I}}, onde a é um parâmetro de tamanho iônico e B outra constante.
  • Se o eletrólito adicionado compartilhasse íons com o sal (efeito do íon comum), aí a solubilidade diminuiria (efeito contrário). Aqui consideramos eletrólito “inerte” (sem íon comum).
  • A razão física: maior força iônica “blindagem” das cargas reduz as interações entre íons, tornando as atividades menores que as concentrações, o que facilita mais dissolução do sólido até que as atividades atinjam K_{sp}.

Resposta

s=\dfrac{\sqrt{K_{sp}}}{\gamma(I)}
Usando Debye–Hückel (1:1, z=1): \quad s=\sqrt{K_{sp}}\;10^{A\sqrt{I}} (com A\approx0{,}509 a 25^\circ\text{C}).

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