Calcule o coeficiente de viscosidade do hidrogênio a 27^{\circ} \mathrm{C} e sob a pressão de 2 atm , sabendo que nessas condições o valor do percurso livre médio é de 1,5 \times 10^{-5} \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o coeficiente de viscosidade do hidrogênio sob as condições: temperatura 27^\circ\mathrm{C} e pressão 2\\ \mathrm{atm}. Foi dada a informação do percurso livre médio igual a 1,5\times10^{-5}\\ \mathrm{cm}.\n
Dados relevantes extraídos do enunciado:\n
  • Temperatura: T = 27^\circ\mathrm{C} = 27 + 273,15 = 300,15\\ \mathrm{K}.\n
  • Pressão: p = 2\\ \mathrm{atm}. (Vou converter para pascal no próximo passo.)\n
  • Percurso livre médio: \lambda = 1,5\times10^{-5}\\ \mathrm{cm}. (Vou converter para metro no próximo passo.)\n
    O que precisa ser obtido: o coeficiente de viscosidade dinâmica \eta do gás nas condições dadas.

Passo 2

Qual a fórmula que vou usar e por quê.\n
Da teoria cinética dos gases, a viscosidade dinâmica de um gás ideal pode ser estimada por\n
\eta = \tfrac{1}{3}\, \rho\, \bar{v}\, \lambda\n
onde:\n
  • \eta é o coeficiente de viscosidade dinâmica (unidade SI: \mathrm{Pa\cdot s}).\n
  • \rho é a massa por unidade de volume do gás (densidade, em \mathrm{kg/m^3}).\n
  • \bar{v} é a velocidade média das moléculas (mais precisamente, a velocidade média absoluta).\n
  • \lambda é o percurso livre médio (em metros).\n
    Explicando a fórmula de forma simples: moléculas carregam quantidade de movimento entre colisões; a taxa desse transporte é proporcional à densidade de massa, à velocidade média das moléculas e à distância média entre colisões, daí o termo \tfrac{1}{3}\rho\bar{v}\lambda.\n
    Vou calcular \rho a partir de n e da massa por molécula m, com \rho = n m, e n vem da equação dos gases ideais n = \dfrac{p}{k T}, onde k é a constante de Boltzmann. A velocidade média será calculada por\n
\bar{v} = \sqrt{\dfrac{8 k T}{\pi m}}.

Passo 3

Converter pressão para SI.\n
Usando 1\\ \mathrm{atm} = 1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, temos\n
p = 2\\ \mathrm{atm} = 2 \times 1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} = 2{,}0265\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Converter o percurso livre médio para metros.\n
Dado \lambda = 1{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{cm} e 1\\ \mathrm{cm} = 10^{-2}\\ \mathrm{m}, então\n
\lambda = 1{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{cm} = 1{,}5\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Constantes e massa molecular do hidrogênio.\n
  • Constante de Boltzmann: k = 1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.\n
  • Número de Avogadro: N_A = 6{,}02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.\n
  • Massa molar do \mathrm{H_2}: M = 2{,}016\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}.\n
    Massa de uma molécula de \mathrm{H_2}:\n
m = \dfrac{M}{N_A} = \dfrac{2{,}016\times10^{-3}}{6{,}02214076\times10^{23}}\\ \mathrm{kg} \approx 3{,}348\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.

Passo 6

Calcular a densidade numérica n (número de moléculas por volume) usando a equação dos gases ideais.\n
n = \dfrac{p}{k T}.\n
Substituindo p = 2{,}0265\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, k = 1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K} e T = 300{,}15\\ \mathrm{K}, obtemos\n
n = \dfrac{2{,}0265\times10^{5}}{1{,}380649\times10^{-23}\times300{,}15}\\ \mathrm{m^{-3}} \approx 4{,}892\times10^{25}\\ \mathrm{m^{-3}}.

Passo 7

Calcular a velocidade média molecular \bar{v}.\n
Usando a fórmula\n
\bar{v} = \sqrt{\dfrac{8 k T}{\pi m}},\n
com k, T e m já definidos, temos\n
\bar{v} = \sqrt{\dfrac{8\times1{,}380649\times10^{-23}\times300{,}15}{\pi\times3{,}348\times10^{-27}}}\\ \mathrm{m/s} \approx 1{,}776\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.\n
Comentário rápido: a velocidade média é alta para o hidrogênio porque sua massa molecular é muito pequena.

Passo 8

Calcular a densidade de massa \rho.\n
\rho = n m.\n
Com n \approx 4{,}892\times10^{25}\\ \mathrm{m^{-3}} e m \approx 3{,}348\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}, temos\n
\rho \approx 4{,}892\times10^{25}\times3{,}348\times10^{-27}\\ \mathrm{kg/m^{3}} \approx 0{,}1637\\ \mathrm{kg/m^{3}}.\n
Cheque mental: densidade do \mathrm{H_2} a 1 atm e 273 K é ~0{,}09 kg/m^3; aqui estamos a 2 atm e temperatura um pouco maior, então ~0{,}16 kg/m^3 faz sentido.

Passo 9

Agora aplicar a fórmula da viscosidade.\n
\eta = \tfrac{1}{3}\,\rho\,\bar{v}\,\lambda.\n
Substituindo \rho \approx 0{,}1637\\ \mathrm{kg/m^{3}}, \bar{v} \approx 1{,}776\times10^{3}\\ \mathrm{m/s} e \lambda = 1{,}5\times10^{-7}\\ \mathrm{m}, obtemos\n
\eta \approx \tfrac{1}{3}\times0{,}1637\times1{,}776\times10^{3}\times1{,}5\times10^{-7}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.\n
Faço as contas passo a passo:\n
  • \rho\bar{v} \approx 0{,}1637\times1{,}776\times10^{3} \approx 2{,}908\times10^{2}.\n
  • Multiplicando por \lambda: 2{,}908\times10^{2}\times1{,}5\times10^{-7} \approx 4{,}362\times10^{-5}.\n
  • Finalmente \eta \approx \tfrac{1}{3}\times4{,}362\times10^{-5} \approx 1{,}454\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 10

Interpretação e checagem rápida.\n
O valor obtido \eta \approx 1{,}45\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s} está na faixa esperada para um gás leve a temperatura ambiente (ordem de 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}). Em teoria cinética ideal, a viscosidade não depende fortemente da pressão em regime de gás diluído (porque \rho cresce com p mas \lambda decresce aproximadamente na mesma proporção), então o valor faz sentido qualitativamente.\n
Pronto — fiz tudo passo a passo e com as unidades consistentes.

Resposta

\eta \approx 1{,}45\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}

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