O coeficiente de viscosidade da amônia a 27^{\circ} \mathrm{C} é 2,1 \times 10^{-4} \mathrm{P}. Calcule o valor do percurso livre médio das moléculas deste gás sob pressão de 2 atm . Calcule também o diâmetro efetivo de colisão molecular das moléculas do gás.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e fornece dados claros. Vou listar o que quer e o que nos foi dado:
  • Perguntas:
    1. Calcular o percurso livre médio das moléculas do gás (amônia) sob 2\\ \text{atm}.
    2. Calcular o diâmetro efetivo de colisão molecular das moléculas do gás.
  • Dados fornecidos:
    \eta = 2{,}1\times 10^{-4}\\ \text{P},
T = 27^\circ\text{C},
p = 2\\ \text{atm}.
  • Observações de conversão (vou usar estes valores constantes): 1\\ \text{P} = 0{,}1\\ \text{Pa}\cdot\text{s},
1\\ \text{atm} = 1{,}01325\times 10^{5}\\ \text{Pa},
T\\ (\text{K}) = 27 + 273{,}15 = 300{,}15\\ \text{K}.
Vou também precisar da massa molar da amônia e de constantes físicas:
M(\text{NH}_3)=17{,}03\\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}=0{,}01703\\ \text{kg}\cdot\text{mol}^{-1},
R=8{,}314462618\\ \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1},
k_B=1{,}380649\times 10^{-23}\\ \text{J}\cdot\text{K}^{-1},
N_A=6{,}02214076\times 10^{23}\\ \text{mol}^{-1}.
A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Primeiro faço as conversões iniciais para ficar tudo no SI:
  • Viscosidade em SI:
\eta = 2{,}1\times 10^{-4}\\ \text{P} = 2{,}1\times 10^{-4}\times 0{,}1\\ \text{Pa}\cdot\text{s} = 2{,}1\times 10^{-5}\\ \text{Pa}\cdot\text{s}.
  • Pressão em Pa:
p = 2\\ \text{atm} = 2\times 1{,}01325\times 10^{5}\\ \text{Pa} = 2{,}0265\times 10^{5}\\ \text{Pa}.
  • Temperatura:
T = 300{,}15\\ \text{K}.

Passo 3

Vou calcular a densidade do gás \rho usando a equação dos gases ideais em forma molar:
p = \rho \frac{R}{M} T \quad\Longrightarrow\quad \rho = \frac{p M}{R T}.
Aqui M é a massa molar (kg/mol), R é a constante dos gases (J/(mol·K)), T em K e p em Pa. Substituindo valores:
\rho = \frac{(2{,}0265\times 10^{5})(0{,}01703)}{8{,}314462618\cdot 300{,}15}.
Faço a conta passo a passo:
\text{denominator} = 8{,}314462618\times 300{,}15 \approx 2495{,}586
\text{numerador} = 2{,}0265\times 10^{5}\times 0{,}01703 \approx 3451{,}13
\rho \approx \frac{3451{,}13}{2495{,}586}\\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3} \approx 1{,}383\\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3}.
Comentário: esse valor faz sentido — é da ordem de uma densidade gasosa (próximo ao ar nas mesmas condições).

Passo 4

Agora quero o percurso livre médio \lambda. Uma relação direta da teoria cinética (aplicável a gases diluídos) liga viscosidade, densidade, velocidade média molecular e percurso livre:
\eta = \frac{1}{3}\,\rho\,\bar{c}\,\lambda,
onde
  • \eta é a viscosidade (Pa·s),
  • \rho é a densidade (kg/m³),
  • \bar{c} é a velocidade média das moléculas (m/s),
  • \lambda é o percurso livre médio (m).
Dessa equação isolamos \lambda:
\lambda = \frac{3\eta}{\rho\,\bar{c}}.
Agora preciso de \bar{c}. A velocidade média (velocidade média escalar) para uma distribuição de Maxwell-Boltzmann é
\bar{c} = \sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m}},
onde m é a massa de uma molécula (kg). Vou calcular m a partir da massa molar:
m = \frac{M}{N_A} = \frac{0{,}01703}{6{,}02214076\times 10^{23}}\\ \text{kg} \approx 2{,}8278\times 10^{-26}\\ \text{kg}.

Passo 5

Calculo numérico de \bar{c}:
\bar{c} = \sqrt{\frac{8\cdot 1{,}380649\times 10^{-23}\cdot 300{,}15}{\pi\cdot 2{,}8278\times 10^{-26}}}.
Faço por etapas:
8 k_B T \approx 8\times 1{,}380649\times 10^{-23}\times 300{,}15 \approx 3{,}3152144\times 10^{-20}\\ \text{J},
\frac{8 k_B T}{\pi} \approx \frac{3{,}3152144\times 10^{-20}}{3{,}14159265} \approx 1{,}055309\times 10^{-20},
\frac{8 k_B T}{\pi m} \approx \frac{1{,}055309\times 10^{-20}}{2{,}8278\times 10^{-26}} \approx 3{,}7339\times 10^{5}\\ (\text{m}^2\!\cdot\!\text{s}^{-2}).
\bar{c} \approx \sqrt{3{,}7339\times 10^{5}}\\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} \approx 611{,}1\\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}.
Explicação curta: a fórmula dá a velocidade média típica das moléculas a uma dada T; é diferente da velocidade RMS, mas é a que entra na expressão usada para \eta.

Passo 6

Agora calculo o percurso livre médio \lambda usando
\lambda = \frac{3\eta}{\rho\,\bar{c}}.
Substituindo valores:
3\eta = 3\times 2{,}1\times 10^{-5} = 6{,}3\times 10^{-5}\\ \text{Pa}\cdot\text{s},
\rho\,\bar{c} \approx 1{,}383\times 611{,}1 \approx 845{,}6\\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{s}^{-1}.
Logo
\lambda \approx \frac{6{,}3\times 10^{-5}}{845{,}6}\\ \text{m} \approx 7{,}45\times 10^{-8}\\ \text{m}.
Conversão para unidades mais intuitivas:
\lambda \approx 7{,}45\times 10^{-8}\\ \text{m} = 74{,}5\\ \text{nm} \approx 745\\ \text{\AA}.
Observação pedagógica: esse valor está na faixa típica de percursos livres em gases (ordem de 10^{-8} a 10^{-7} m) — depende de p e \eta.

Passo 7

Agora vou calcular o diâmetro efetivo de colisão molecular d. Para esferas rígidas a fórmula clássica da teoria cinética dá a relação entre \lambda, d, p e T:
\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2}\,\pi\,d^{2}\,p}.
Essa fórmula vem da definição de comprimento livre médio em termos da seção de choque efetiva \sigma=\pi d^{2} e da densidade numérica n=p/(k_B T); a fator \sqrt{2} aparece por conta da velocidade relativa média entre pares de moléculas.
Isolando d:
d = \sqrt{\frac{k_B T}{\sqrt{2}\,\pi\,p\,\lambda}}.

Passo 8

Faço o cálculo numérico de d com \lambda já obtido:
k_B T \approx 1{,}380649\times 10^{-23}\times 300{,}15 \approx 4{,}144018\times 10^{-21}\\ \text{J}.
\sqrt{2}\,\pi \approx 1{,}41421356\times 3{,}14159265 \approx 4{,}4428829.
\sqrt{2}\,\pi\,p\,\lambda \approx 4{,}4428829\times (2{,}0265\times 10^{5})\times (7{,}45\times 10^{-8})
\qquad\approx 4{,}4428829\times 2{,}0265\times 10^{5}\times 7{,}45\times 10^{-8} \approx 0{,}06714.
\frac{k_B T}{\sqrt{2}\,\pi\,p\,\lambda} \approx \frac{4{,}144018\times 10^{-21}}{0{,}06714} \approx 6{,}169\times 10^{-20}.
d \approx \sqrt{6{,}169\times 10^{-20}}\\ \text{m} \approx 7{,}86\times 10^{-10}\\ \text{m}.
Conversões úteis:
d \approx 7{,}86\times 10^{-10}\\ \text{m} = 0{,}786\\ \text{nm} = 7{,}86\\ \text{\AA}.
Comentário: esse d é uma estimativa do “diâmetro efetivo de colisão” (ordem de angstroms). O valor numérico depende das aproximações da teoria cinética (hard-sphere, média de velocidades, etc.), mas é o procedimento standard para esse tipo de cálculo.

Passo 9

Resumo do procedimento (curtinho, para fixar a ideia na cabeça):
  • Converti unidades e calculei \rho a partir de p= \rho (R/M) T.
  • Usei a relação \eta = \tfrac{1}{3}\rho\bar{c}\lambda para obter \lambda (precisei da velocidade média \bar{c}=\sqrt{\tfrac{8k_B T}{\pi m}}).
  • Com \lambda usei \lambda = \dfrac{k_B T}{\sqrt{2}\pi d^{2} p} para achar d.
Essas são ferramentas que costumam cair em provas: transformar entre viscosidade, densidade, velocidade molecular e seção de choque.

Resposta

\lambda \approx 7{,}45\times 10^{-8}\\ \text{m}
d \approx 7{,}86\times 10^{-10}\\ \text{m}

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