O coeficiente de viscosidade da amônia a
é
. Calcule o valor do percurso livre médio das moléculas deste gás sob pressão de 2 atm . Calcule também o diâmetro efetivo de colisão molecular das moléculas do gás.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e fornece dados claros. Vou listar o que quer e o que nos foi dado:
-
Perguntas:
- Calcular o percurso livre médio das moléculas do gás (amônia) sob
. - Calcular o diâmetro efetivo de colisão molecular das moléculas do gás.
- Calcular o percurso livre médio das moléculas do gás (amônia) sob
-
Dados fornecidos:
- Observações de conversão (vou usar estes valores constantes):
Vou também precisar da massa molar da amônia e de constantes físicas:
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Primeiro faço as conversões iniciais para ficar tudo no SI:
- Viscosidade em SI:
- Pressão em Pa:
- Temperatura:
Passo 3
Vou calcular a densidade do gás
usando a equação dos gases ideais em forma molar:
Aqui
é a massa molar (kg/mol),
é a constante dos gases (J/(mol·K)),
em K e
em Pa. Substituindo valores:
Faço a conta passo a passo:
Comentário: esse valor faz sentido — é da ordem de uma densidade gasosa (próximo ao ar nas mesmas condições).
Passo 4
Agora quero o percurso livre médio
. Uma relação direta da teoria cinética (aplicável a gases diluídos) liga viscosidade, densidade, velocidade média molecular e percurso livre:
onde
-
é a viscosidade (Pa·s), -
é a densidade (kg/m³), -
é a velocidade média das moléculas (m/s), -
é o percurso livre médio (m).
Dessa equação isolamos
:
Agora preciso de
. A velocidade média (velocidade média escalar) para uma distribuição de Maxwell-Boltzmann é
onde
é a massa de uma molécula (kg). Vou calcular
a partir da massa molar:
Passo 5
Calculo numérico de
:
Faço por etapas:
Explicação curta: a fórmula dá a velocidade média típica das moléculas a uma dada
; é diferente da velocidade RMS, mas é a que entra na expressão usada para
.
Passo 6
Agora calculo o percurso livre médio
usando
Substituindo valores:
Logo
Conversão para unidades mais intuitivas:
Observação pedagógica: esse valor está na faixa típica de percursos livres em gases (ordem de 10^{-8} a 10^{-7} m) — depende de
e
.
Passo 7
Agora vou calcular o diâmetro efetivo de colisão molecular
. Para esferas rígidas a fórmula clássica da teoria cinética dá a relação entre
,
,
e
:
Essa fórmula vem da definição de comprimento livre médio em termos da seção de choque efetiva
e da densidade numérica
; a fator
aparece por conta da velocidade relativa média entre pares de moléculas.
Isolando
:
Passo 8
Faço o cálculo numérico de
com
já obtido:
Conversões úteis:
Comentário: esse
é uma estimativa do “diâmetro efetivo de colisão” (ordem de angstroms). O valor numérico depende das aproximações da teoria cinética (hard-sphere, média de velocidades, etc.), mas é o procedimento standard para esse tipo de cálculo.
Passo 9
Resumo do procedimento (curtinho, para fixar a ideia na cabeça):
- Converti unidades e calculei
a partir de . - Usei a relação
para obter (precisei da velocidade média ). - Com
usei para achar .
Essas são ferramentas que costumam cair em provas: transformar entre viscosidade, densidade, velocidade molecular e seção de choque.