Dois pratos paralelos, distando entre si 0,5 \mathrm{~cm}, são mantidos a 301 K e 298 K , respectivamente. O espaço entre os pratos contém hidrogênio cujo diâmetro de colisão molecular é igual a 0,27 \mathrm{~nm}. Sabendo que para o hidrogênio \bar{C}_{\mathrm{V}}=(5 / 2) R, calcule o fluxo de calor entre os dois pratos.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma para a gente não se perder):
  • Duas placas paralelas, separadas por uma distância L = 0{,}5\\ \mathrm{cm}.
  • Temperaturas das placas: uma a T_1 = 301\\ \mathrm{K} e a outra a T_2 = 298\\ \mathrm{K}.
  • Espaço entre as placas preenchido por hidrogênio cuja “diâmetro de colisão molecular” é d = 0{,}27\\ \mathrm{nm}.
  • Capacidade térmica molar a volume constante para o hidrogênio: \bar{C}_V = \dfrac{5}{2}R.
Observação importante: o enunciado não especifica a pressão do gás. Vou assumir pressão ambiente padrão p = 1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} (1 atm), que é a hipótese usual quando não fornecem pressão. Vou usar essa hipótese sem te perguntar nada (como você pediu).
Constantes que vou usar:
R = 8{,}3144626\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},\quad k_B = 1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K},\quad M_{\mathrm{H_2}} = 2{,}016\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}.
O que o exercício pede: calcular o fluxo de calor entre as duas placas (isto é, a densidade de fluxo de calor q'', em \mathrm{W/m^2}).

Passo 2

Escolha do método e plano curto (sem resolver ainda): para calcular o fluxo de calor no gás entre as placas podemos ter dois regimes:
  • Se o comprimento livre médio das moléculas \lambda for muito menor que a separação L, o gás está no regime contínuo e uso a lei de Fourier com a condutividade térmica k do gás.
  • Se \lambda for comparável ou maior que L, o regime é livre-molecular e o fluxo é obtido por transporte direto de moléculas (fórmulas cinéticas diferentes).
Portanto o primeiro passo prático é calcular \lambda e comparar com L. A fórmula da teoria cinética para o comprimento livre médio é
\lambda = \frac{k_B T_m}{\sqrt{2}\,\pi d^2 p},
onde T_m é uma temperatura média no intervalo entre as placas (vou usar a média aritmética), d é o diâmetro de colisão, p a pressão, e k_B a constante de Boltzmann. Vou calcular \lambda para decidir o regime.
Calculemos T_m e numericamente \lambda:
T_m = \frac{T_1 + T_2}{2} = \frac{301 + 298}{2} = 299{,}5\\ \mathrm{K}.
Colocando os valores na fórmula (lembrando d = 0{,}27\\ \mathrm{nm} = 0{,}27\times10^{-9}\\ \mathrm{m} e p = 1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}):
\lambda = \frac{1{,}380649\times10^{-23}\times 299{,}5}{\sqrt{2}\,\pi\,(0{,}27\times10^{-9})^2\times 1{,}013\times10^{5}} \approx 1{,}26\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Comparação de escalas e conclusão sobre o regime:
  • A separação das placas é L = 0{,}5\\ \mathrm{cm} = 5{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • O comprimento livre médio que calculamos é \lambda \approx 1{,}26\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Como \lambda \ll L (aproximadamente \lambda é quatro ordens de grandeza menor que L), o gás está no regime contínuo. Logo podemos usar a lei de Fourier:
q'' = -k\,\frac{\Delta T}{L},
onde \Delta T = T_1 - T_2 = 3\\ \mathrm{K} e k é a condutividade térmica do hidrogênio sob as condições dadas.
Agora precisamos estimar k. Pela teoria cinética dos gases a condutividade térmica pode ser aproximada por
k \approx \frac{1}{3}\,\rho\,C_v\,\bar{c}\,\lambda,
onde
  • \rho é a densidade do gás,
  • C_v é o calor específico a volume constante por unidade de massa,
  • \bar{c} é a velocidade média molecular,
  • \lambda é o comprimento livre médio já calculado.
Vou explicar cada termo e calcular.

Passo 4

Cálculo dos termos que entram em k.
  1. Calor específico por unidade de massa a volume constante:
C_v = \frac{\bar{C}_V}{M} = \frac{\tfrac{5}{2}R}{M_{\mathrm{H_2}}} = \frac{2{,}5\times 8{,}3144626}{2{,}016\times10^{-3}} \approx 1,0308\times10^{4}\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  1. Densidade do gás (equação de estado dos gases ideais):
\rho = \frac{pM}{RT_m} = \frac{1{,}013\times10^{5}\times 2{,}016\times10^{-3}}{8{,}3144626\times 299{,}5} \approx 8{,}20\times10^{-2}\\ \mathrm{kg/m^3}.
  1. Velocidade média molecular (média aritmética de Maxwell):
\bar{c} = \sqrt{\frac{8RT_m}{\pi M}} = \sqrt{\frac{8\times 8{,}3144626\times 299{,}5}{\pi\times 2{,}016\times10^{-3}}} \approx 1{,}77\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
  1. Já tínhamos \lambda \approx 1{,}26\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Agora juntamos tudo na expressão para k:
k \approx \frac{1}{3}\,\rho\,C_v\,\bar{c}\,\lambda.
Substituindo os valores:
k \approx \frac{1}{3}\times (8{,}20\times10^{-2})\times(1{,}0308\times10^{4}) \times(1{,}77\times10^{3})\times(1{,}26\times10^{-7}) \approx 6{,}30\times10^{-2}\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
(Interpretação rápida: este k é uma estimativa pela teoria cinética; ordem de grandeza consistente para um gás leve sob as aproximações usadas.)

Passo 5

Aplicar a lei de Fourier para obter o fluxo de calor superficial:
q'' = k\,\frac{T_1 - T_2}{L}.
Com \Delta T = 3\\ \mathrm{K}, L = 5{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m} e k \approx 6{,}30\times10^{-2}\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},
q'' \approx 6{,}30\times10^{-2}\times\frac{3}{5{,}0\times10^{-3}} = 6{,}30\times10^{-2}\times 600 \approx 3,78\times10^{1}\\ \mathrm{W/m^2}.
Ou seja,
q'' \approx 37{,}8\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 6

Interpretação rápida e encorajamento (curto):
  • O fluxo é relativamente pequeno porque a diferença de temperatura é pequena e o gás tem condutividade moderada no arranjo contínuo.
  • Eu assumi pressão de 1\\ \mathrm{atm}. Se a pressão fosse muito baixa (vácuo parcial) teríamos que usar o regime livre-molecular e a resposta mudaria — mas como \lambda \ll L na hipótese de 1\\ \mathrm{atm}, a aproximação contínua está correta aqui.

Resposta

37{,}8\\ \mathrm{W/m^2}

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