Dois pratos paralelos, distando entre si
, são mantidos a 301 K e 298 K , respectivamente. O espaço entre os pratos contém hidrogênio cujo diâmetro de colisão molecular é igual a
. Sabendo que para o hidrogênio
, calcule o fluxo de calor entre os dois pratos.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com calma para a gente não se perder):
- Duas placas paralelas, separadas por uma distância
. - Temperaturas das placas: uma a
e a outra a . - Espaço entre as placas preenchido por hidrogênio cuja “diâmetro de colisão molecular” é
. - Capacidade térmica molar a volume constante para o hidrogênio:
.
Observação importante: o enunciado não especifica a pressão do gás. Vou assumir pressão ambiente padrão
(1 atm), que é a hipótese usual quando não fornecem pressão. Vou usar essa hipótese sem te perguntar nada (como você pediu).
Constantes que vou usar:
O que o exercício pede: calcular o fluxo de calor entre as duas placas (isto é, a densidade de fluxo de calor
, em
).
Passo 2
Escolha do método e plano curto (sem resolver ainda): para calcular o fluxo de calor no gás entre as placas podemos ter dois regimes:
- Se o comprimento livre médio das moléculas
for muito menor que a separação , o gás está no regime contínuo e uso a lei de Fourier com a condutividade térmica do gás. - Se
for comparável ou maior que , o regime é livre-molecular e o fluxo é obtido por transporte direto de moléculas (fórmulas cinéticas diferentes).
Portanto o primeiro passo prático é calcular
e comparar com
. A fórmula da teoria cinética para o comprimento livre médio é
onde
é uma temperatura média no intervalo entre as placas (vou usar a média aritmética),
é o diâmetro de colisão,
a pressão, e
a constante de Boltzmann. Vou calcular
para decidir o regime.
Calculemos
e numericamente
:
Colocando os valores na fórmula (lembrando
e
):
Passo 3
Comparação de escalas e conclusão sobre o regime:
- A separação das placas é
. - O comprimento livre médio que calculamos é
.
Como
(aproximadamente
é quatro ordens de grandeza menor que
), o gás está no regime contínuo. Logo podemos usar a lei de Fourier:
onde
e
é a condutividade térmica do hidrogênio sob as condições dadas.
Agora precisamos estimar
. Pela teoria cinética dos gases a condutividade térmica pode ser aproximada por
onde
-
é a densidade do gás, -
é o calor específico a volume constante por unidade de massa, -
é a velocidade média molecular, -
é o comprimento livre médio já calculado.
Vou explicar cada termo e calcular.
Passo 4
Cálculo dos termos que entram em
.
- Calor específico por unidade de massa a volume constante:
- Densidade do gás (equação de estado dos gases ideais):
- Velocidade média molecular (média aritmética de Maxwell):
- Já tínhamos
.
Agora juntamos tudo na expressão para
:
Substituindo os valores:
(Interpretação rápida: este
é uma estimativa pela teoria cinética; ordem de grandeza consistente para um gás leve sob as aproximações usadas.)
Passo 5
Aplicar a lei de Fourier para obter o fluxo de calor superficial:
Com
,
e
,
Ou seja,
Passo 6
Interpretação rápida e encorajamento (curto):
- O fluxo é relativamente pequeno porque a diferença de temperatura é pequena e o gás tem condutividade moderada no arranjo contínuo.
- Eu assumi pressão de
. Se a pressão fosse muito baixa (vácuo parcial) teríamos que usar o regime livre-molecular e a resposta mudaria — mas como na hipótese de , a aproximação contínua está correta aqui.