(a) Calcule as colunas de A B na forma A Ci(B), i=1,2,3 e verifique que cada coluna de A B é uma combinação da forma r C1(A)+s C2(A)+t C3(A), onde Ci(A) são as colunas de A.
(b) Calcule as linhas de A B na forma Li(A) B, i=1,2,3 e verifique que cada linha de A B é uma combinação da forma r L1(B)+s L2(B)+t L3(B), onde. Justifique que isto sempre acontece assim.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe fala sobre multiplicação de matrizes, especificamente sobre como calcular as colunas e linhas do produto de duas matrizes e . Vamos usar conceitos de combinação linear para entender como cada coluna e linha de é formada a partir das colunas de e das linhas de . Para resolver isso, vamos precisar lembrar como funciona a multiplicação de matrizes e o que são combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as colunas de . Lembre-se que é uma matriz onde cada coluna é o resultado da multiplicação de pela respectiva coluna de . Ou seja, se é a -ésima coluna de , então a -ésima coluna de é .

Passo 3

Vamos supor que A Ci(B) = r C1(A) + s C2(A) + t C3(A) é uma matriz e é uma matriz . Cada coluna de será uma combinação linear das colunas de . Isso significa que podemos escrever:
onde são as colunas de e são os coeficientes dessa combinação linear.

Passo 4

Para verificar isso, vamos multiplicar A = a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33 , Ci(B) = b1i b2i b3i pela coluna A Ci(B) = a11b1i + a12b2i + a13b3i . Suponha que:
= b1i a11 a21 a31 + b2i a12 a22 a32 + b3i a13 a23 a33
Então:
= r C1(A) + s C2(A) + t C3(A)
onde , , e .

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo para as linhas de Li(A) B = r L1(B) + s L2(B) + t L3(B) . Cada linha de é o resultado da multiplicação da respectiva linha de pela matriz . Se é a -ésima linha de , então:
onde são as linhas de e são os coeficientes dessa combinação linear.

Passo 6

Para justificar por que isso sempre acontece, precisamos lembrar que na multiplicação de matrizes, cada elemento do produto é uma soma de produtos dos elementos correspondentes das linhas de e das colunas de . Isso naturalmente leva a uma combinação linear das colunas de quando calculamos as colunas de , e das linhas de quando calculamos as linhas de . Portanto, cada coluna (ou linha) de é sempre uma combinação linear das colunas de (ou das linhas de ).

Resposta

Portanto, mostramos que cada coluna de é uma combinação linear das colunas de e que cada linha de é uma combinação linear das linhas de . Isso confirma que na multiplicação de matrizes, as colunas e linhas do produto são combinações lineares das colunas de e das linhas de , respectivamente.

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