Sejam A=(1,2,-1), B=(3,3,0) e C=(0,3,0). Mostre que A, B e C são vértices de um triângulo. Em seguida, calcule a área do triângulo ABC .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos três pontos no espaço tridimensional: , e . Precisamos mostrar que esses três pontos formam um triângulo e, em seguida, calcular a área desse triângulo. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre vetores e geometria no espaço.

Passo 2

Para mostrar que AB = B - A = (3-1, , 3-2, , 0-(-1)) = (2, 1, 1) , AC = C - A = (0-1, , 3-2, , 0-(-1)) = (-1, 1, 1) e formam um triângulo, precisamos garantir que eles não estão todos alinhados em uma única linha reta. Em outras palavras, os vetores e não devem ser paralelos.
Primeiro, vamos calcular os vetores e :

Passo 3

Agora, para verificar se os vetores AB times AC = i & j & k 2 & 1 & 1 -1 & 1 & 1 = i(1 cdot 1 - 1 cdot 1) - j(2 cdot 1 - (-1) cdot 1) + k(2 cdot 1 - (-1) cdot 1) e = i(0) - j(3) + k(3) = (0, -3, 3) são paralelos, podemos calcular o produto vetorial entre eles. Se o produto vetorial for o vetor nulo, os vetores são paralelos.
Vamos calcular :
Como o produto vetorial não é o vetor nulo, os vetores não são paralelos. Portanto, os pontos , e não estão alinhados e formam um triângulo.

Passo 4

Agora que estabelecemos que os pontos formam um triângulo, vamos calcular a área desse triângulo. Uma maneira de fazer isso é usando a fórmula da metade do módulo do produto vetorial dos vetores Área = 12 | AB times AC | e | AB times AC | = raiz0^2 + (-3)^2 + 3^2 = raiz0 + 9 + 9 = raiz18 = 3raiz2 :
Á
Já calculamos . Vamos calcular o módulo desse vetor:

Resposta

A área do triângulo ABC é unidades de área.

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