A cdot adj(A)=[bi j], onde bi j=sumk ai k Cj k
Na diagonal, bi i=ai 1 Ci 1+cdots+ai n Cj n=det A. Para i neq j, ou seja, fora da diagonal, temos bi j=ai 1 Cj 1+cdots+ai n Cj n=0. Portanto:
A cdot adj(A)=(det A) In
Esta igualdade permite determinar a inversa caso det A neq 0.
Proposição 1.82. Para toda matriz quadrada, A invertível, temos:
A^-1=1det(A) adj(A)
Exemplo 1.83. Sabemos que a matriz A=[ccc-1 & -2 & 0 1 & 4 & 1 5 & 0 & 1] é invertível, com
det(A)=-12 e adj(A)=[ccc 4 & 2 & -2 4 & -1 & 1 -20 & -10 & -2 ]
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A^-1=-112[ccc 4 & 2 & -2 4 & -1 & 1 -20 & -10 & -2 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre encontrar a matriz inversa usando a adjunta e o determinante da matriz . Para isso, a gente vai precisar saber como calcular o determinante de e a adjunta de . Vamos seguir os passos para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, lembra que para uma matriz quadrada A^-1 = 1det(A) adj(A) ser invertível, o determinante precisa ser diferente de zero. A fórmula que vamos usar para encontrar a inversa é:
Aqui, é a matriz adjunta de .

Passo 3

No exercício, já nos deram os valores que precisamos:
  • O determinante de adj(A) = [ccc 4 & 2 & -2 4 & -1 & 1 -20 & -10 & -2 ] é .
  • A adjunta de é:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula da inversa. Primeiro, substituímos os valores que temos na fórmula:
A^-1 = 1-12 [ccc 4 & 2 & -2 4 & -1 & 1 -20 & -10 & -2 ]
Isso significa que cada elemento da matriz adjunta será multiplicado por .

Passo 5

Fazendo essa multiplicação, obtemos a matriz inversa A^-1 = -112 [ccc 4 & 2 & -2 4 & -1 & 1 -20 & -10 & -2 ] :

Resposta

A inversa da matriz A^-1 = -112 [ccc 4 & 2 & -2 4 & -1 & 1 -20 & -10 & -2 ] é:

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