Calcule e compare as densidades lineares das direções [100], [110] e [111] para a estrutura cristalina CFC.

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede: “Calcule e compare as densidades lineares das direções [100], [110] e [111] para a estrutura cristalina CFC.”
Conteúdo: densidade linear em redes cristalinas, mais especificamente em célula de face centrada (CFC).
O que vamos precisar:
  • Definição de densidade linear (átomos por unidade de comprimento no sentido dado).
  • Saber quantos átomos “caem” naquela direção dentro de uma célula e como eles são compartilhados.
  • Comprimento do segmento de reta dentro da célula, em função do parâmetro de rede .

Passo 2

Vamos começar com [100].
  1. Em CFC, a direção [100] é o aresta do cubo, comprimento N = 2 times 18 = 14 .
  2. Nessa aresta temos só dois átomos nas extremidades (nos vértices). Cada átomo de vértice é compartilhado por 8 células.
  3. Então o número efetivo de átomos na direção é
rho[100] = NL = tfrac14a = 14a
  1. A densidade linear é

Passo 3

Agora [110].
  1. A direção [110] vai de N = tfrac14 + tfrac12 = tfrac34 a rho[110] = NL = tfrac34araiz2 = 34araiz2 = 3raiz28a , comprimento .
  2. Os átomos que caem nessa reta dentro da célula são:
    • 2 vértices nas pontas
    • 1 átomo central de face em , compartilhado por 2 células
  3. Total de átomos:
  1. Então

Passo 4

Agora [111].
  1. A direção [111] vai de rho[111] = tfrac14araiz3 = 14araiz3 a , comprimento .
  2. Em CFC não há átomo no centro do corpo, então só aparecem os 2 vértices nas pontas:
    • 2 vértices
  3. Logo

Resposta

Comparando as três densidades lineares:
rho[110] = 3raiz28a ;>; rho[100] = 14a ;>; rho[111] = 14araiz3

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