Calcule o comprimento de arco de
entre
e
, onde
,
e
são como abaixo.
e
;
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
e os limites de parâmetro:
-
. -
e .
O que pede: calcular o comprimento de arco de
entre
e
, isto é, o comprimento da curva
entre os pontos correspondentes a
e
.
Informações relevantes fornecidas:
- A curva está em
com coordenadas . - A componente
é , então a curva é uma hélice em torno do eixo . - Os valores de parâmetro para integrar são
e .
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicada com calma): para uma curva suavemente parametrizada
por parâmetro
, o comprimento de arco
entre
e
é
Aqui:
-
é a derivada vetor de em relação a , isto é, a velocidade instantânea da partícula que percorre a curva. -
é a norma Euclidiana do vetor em : para tem-se .
Intuição breve e útil (para lembrar na prova): ao aproximar a curva por pequenos segmentos de reta, cada pequeno comprimento é aproximadamente
. Somando e passando para o limite obtém-se a integral acima.
Passo 3
Calcular
componente a componente. Como
, derivando cada componente em relação a
obtemos:
Explicando as derivadas:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Passo 4
Calcular a norma
. Usando a definição da norma Euclidiana:
Desenvolvendo e simplificando usando a identidade trigonométrica
:
Observação importante: a norma é constante (não depende de
), o que simplifica muito a integral.
Passo 5
Substituir a norma na fórmula do comprimento e calcular a integral. Como
constante,
A integral de
de
a
é simplesmente
, portanto