Calcule o comprimento de arco de \alpha entre a e b, onde \alpha, a e b são como abaixo.
\alpha(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t, t), a=0 e b=\pi;

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada \alpha e os limites de parâmetro:
  • \alpha(t) = (\cos t, \sin t, t).
  • a = 0 e b = \pi.
O que pede: calcular o comprimento de arco de \alpha entre t=a e t=b, isto é, o comprimento da curva \alpha entre os pontos correspondentes a t=0 e t=\pi.
Informações relevantes fornecidas:
  • A curva está em \mathbb{R}^3 com coordenadas (x,y,z).
  • A componente z é t, então a curva é uma hélice em torno do eixo z.
  • Os valores de parâmetro para integrar são 0 e \pi.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada com calma): para uma curva suavemente parametrizada \alpha:[a,b]\to\mathbb{R}^3 por parâmetro t, o comprimento de arco L entre t=a e t=b é
L=\int_a^b \|\alpha'(t)\|\,dt.
Aqui:
  • \alpha'(t) é a derivada vetor de \alpha em relação a t, isto é, a velocidade instantânea da partícula que percorre a curva.
  • \|\cdot\| é a norma Euclidiana do vetor em \mathbb{R}^3: para v=(v_1,v_2,v_3) tem-se \|v\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}.
Intuição breve e útil (para lembrar na prova): ao aproximar a curva por pequenos segmentos de reta, cada pequeno comprimento é aproximadamente \|\alpha'(t)\|\,\Delta t. Somando e passando para o limite obtém-se a integral acima.

Passo 3

Calcular \alpha'(t) componente a componente. Como \alpha(t)=(\cos t,\sin t,t), derivando cada componente em relação a t obtemos:
\alpha'(t)=\bigl(-\sin t,\\ \cos t,\\\ 1\bigr).
Explicando as derivadas:
  • Derivada de \cos t é -\sin t.
  • Derivada de \sin t é \cos t.
  • Derivada de t é 1.

Passo 4

Calcular a norma \|\alpha'(t)\|. Usando a definição da norma Euclidiana:
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2+1^2}.
Desenvolvendo e simplificando usando a identidade trigonométrica \sin^2 t+\cos^2 t=1:
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t+1}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Observação importante: a norma é constante (não depende de t), o que simplifica muito a integral.

Passo 5

Substituir a norma na fórmula do comprimento e calcular a integral. Como \|\alpha'(t)\|=\sqrt{2} constante,
L=\int_{0}^{\pi} \|\alpha'(t)\|\,dt=\int_{0}^{\pi} \sqrt{2}\,dt=\sqrt{2}\int_{0}^{\pi} 1\,dt.
A integral de 1 de 0 a \pi é simplesmente \pi, portanto
L=\sqrt{2}\,\pi.

Resposta

\pi\sqrt{2}

Exercícios relacionados