Seja \alpha: I \subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} uma curva regular com k>0. A curva parametrizada \alpha^{*}(t)=C(t), t \in I, onde C(t) é centro de curvatura de \alpha em t, é chamada curva central de \alpha.
(a) Dados a, b \in \mathbb{R}, a>0, ponha
\begin{aligned} \alpha_{a b}: \mathbb{R} & \longrightarrow \mathbb{R}^{3} \\\ t & \longmapsto \alpha_{a b}(t)=(a \cos t, a \operatorname{sen} t, b t) . \end{aligned}
Mostre que \alpha_{a b}^{*}=\alpha_{\bar{a} b}, onde \bar{a}=-b^{2} / a;
(b) Conclua que \left(\alpha_{a b}^{*}\right)^{*}=\alpha_{a b};
(c) Interprete geometricamente o caso b=0;
(d) A curva central de curva \alpha com k>0 é constante se, e somente se, o traço de \alpha está contido em um círculo.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que já foi dado.
  • Definição importante (dada): a curva central (curva dos centros de curvatura) de uma curva regular \alpha com curvatura \kappa>0 é a curva \alpha^{*}(t)=C(t), onde
C(t)=\alpha(t)+\frac{1}{\kappa(t)}\,n(t),
sendo n(t) o vetor normal principal unitário em t e \kappa(t) a curvatura em t.
  • Dados do problema:
    • a,b\in\mathbb{R} com a>0.
    • A família de curvas
    \begin{aligned} \alpha_{a b}\colon\mathbb{R}&\longrightarrow\mathbb{R}^{3},\\\ t&\longmapsto \alpha_{a b}(t)=(a\cos t,\;a\operatorname{sen} t,\;b t). \end{aligned}
  • O enunciado pede:
    (a) Mostrar que \alpha_{ab}^{*}=\alpha_{\bar a\, b}, onde \bar a=-\dfrac{b^{2}}{a}.
    (b) Concluir que \big(\alpha_{ab}^{*}\big)^{*}=\alpha_{ab}.
    (c) Interpretar geometricamente o caso b=0.
    (d) Mostrar que a curva central de uma curva \alpha com \kappa>0 é constante se, e somente se, a imagem (traço) de \alpha está contida em um círculo.

Passo 2

Preparação: fórmulas e ideias que vou usar (explicação didática).
  • Para uma curva \alpha(t) qualquer (não necessariamente por comprimento de arco), as derivadas são \alpha'(t) e \alpha''(t). A velocidade (norma da derivada) é v(t)=\lVert\alpha'(t)\rVert.
  • Uma fórmula prática para a curvatura \kappa(t) é
\kappa(t)=\frac{\lVert \alpha'(t)\times\alpha''(t)\rVert}{\lVert\alpha'(t)\rVert^{3}}.
Esta fórmula dá a curvatura independentemente do parâmetro usado; ela mede “quanto a direção da tangente está mudando por unidade de comprimento de arco”.
  • O vetor tangente unitário é T=\dfrac{\alpha'}{\lVert\alpha'\rVert}. Se usarmos o parâmetro t, então
\frac{dT}{ds}=\frac{1}{\lVert\alpha'\rVert}\frac{dT}{dt},
onde s é o comprimento de arco; e vale ainda \dfrac{dT}{ds}=\kappa n, o que relaciona T', \kappa e n.
  • A definição do centro de curvatura em t é
C(t)=\alpha(t)+\frac{1}{\kappa(t)}\,n(t).
Vou aplicar essas fórmulas explicitamente à curva \alpha_{ab}(t).

Passo 3

Cálculos das derivadas e da velocidade para \alpha_{ab}.
  • Derivadas:
\alpha_{ab}'(t)=(-a\operatorname{sen} t,\;a\cos t,\;b),
\alpha_{ab}''(t)=(-a\cos t,\;-a\operatorname{sen} t,\;0).
  • Velocidade (norma de \alpha_{ab}'):
v:=\lVert\alpha_{ab}'(t)\rVert=\sqrt{(-a\operatorname{sen} t)^{2}+(a\cos t)^{2}+b^{2}} =\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
Observação: v é constante (independe de t). Isso é típico de hélices e facilita cálculos.

Passo 4

Cálculo da curvatura \kappa(t) usando a fórmula com produto vetorial.
  • Primeiro o produto vetorial \alpha_{ab}'(t)\times\alpha_{ab}''(t). Vou calcular coordenada a coordenada (determinante):
\alpha_{ab}'\times\alpha_{ab}''=(ab\operatorname{sen} t,\;-ab\cos t,\;a^{2}).
  • Norma desse vetor:
\lVert\alpha_{ab}'\times\alpha_{ab}''\rVert=\sqrt{(ab)^{2}\operatorname{sen}^{2}t+(ab)^{2}\cos^{2}t+a^{4}} =\sqrt{a^{2}(a^{2}+b^{2})}=a\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
  • Usando a fórmula da curvatura:
\kappa(t)=\frac{\lVert\alpha_{ab}'\times\alpha_{ab}''\rVert}{\lVert\alpha_{ab}'\rVert^{3}} =\frac{a\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{(a^{2}+b^{2})^{3/2}} =\frac{a}{a^{2}+b^{2}}.
Portanto \kappa é constante (independe de t) e vale \kappa=\dfrac{a}{a^{2}+b^{2}}.
Comentário didático rápido: ter \kappa constante é coerente com a curva ser uma hélice circular — a curvatura de uma hélice circular é constante.

Passo 5

Cálculo do vetor normal principal unitário n(t).
  • Primeiro o tangente unitário:
T(t)=\frac{\alpha_{ab}'(t)}{v}=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\,(-a\operatorname{sen} t,\;a\cos t,\;b).
  • Derivando T em relação a t. Como v é constante, dT/dt=\alpha_{ab}''/v:
\frac{dT}{dt}=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\,(-a\cos t,\;-a\operatorname{sen} t,\;0).
  • Passando para derivada em relação ao comprimento de arco s:
\frac{dT}{ds}=\frac{1}{v}\frac{dT}{dt}=\frac{\alpha_{ab}''}{v^{2}}.
Mas \dfrac{dT}{ds}=\kappa\,n. Logo
n(t)=\frac{1}{\kappa}\frac{\alpha_{ab}''(t)}{v^{2}}.
  • Substituindo \alpha_{ab}'', v^{2}=a^{2}+b^{2} e \kappa=\dfrac{a}{a^{2}+b^{2}}:
n(t)=\frac{1}{\dfrac{a}{a^{2}+b^{2}}}\cdot\frac{(-a\cos t,\;-a\operatorname{sen} t,\;0)}{a^{2}+b^{2}} =\frac{a^{2}+b^{2}}{a}\cdot\frac{(-a\cos t,\;-a\operatorname{sen} t,\;0)}{a^{2}+b^{2}} =(-\cos t,\;-\operatorname{sen} t,\;0).
Portanto o vetor normal principal unitário é
n(t)=(-\cos t,\;-\operatorname{sen} t,\;0).
Intuição geométrica: n(t) aponta radialmente para dentro do círculo projetado no plano xy.

Passo 6

Cálculo do centro de curvatura C(t) (a curva central) para \alpha_{ab}.
  • Pelo definido:
C(t)=\alpha_{ab}(t)+\frac{1}{\kappa}\,n(t).
  • Usando \alpha_{ab}(t)=(a\cos t,\;a\operatorname{sen} t,\;b t), \kappa=\dfrac{a}{a^{2}+b^{2}} e n(t)=(-\cos t,\;-\operatorname{sen} t,\;0), temos
\frac{1}{\kappa}=\frac{a^{2}+b^{2}}{a},
então
\frac{1}{\kappa}n(t)=\frac{a^{2}+b^{2}}{a}\,(-\cos t,\;-\operatorname{sen} t,\;0)=\Big(-\frac{a^{2}+b^{2}}{a}\cos t,\;-\frac{a^{2}+b^{2}}{a}\operatorname{sen} t,\;0\Big).
  • Somando com \alpha_{ab}(t):
\begin{aligned} C(t)&=\Big(a\cos t-\frac{a^{2}+b^{2}}{a}\cos t,\;a\operatorname{sen} t-\frac{a^{2}+b^{2}}{a}\operatorname{sen} t,\;bt\Big)\\[4pt] &=\Big(-\frac{b^{2}}{a}\cos t,\;-\frac{b^{2}}{a}\operatorname{sen} t,\;b t\Big). \end{aligned}
  • Observação: isto é exatamente a curva \alpha_{\bar a\, b}(t) com
\bar a=-\frac{b^{2}}{a}.
Conclusão do item (a): \displaystyle \alpha_{ab}^{*}=\alpha_{\bar a\, b} com \bar a=-\dfrac{b^{2}}{a}.]

Passo 7

Prova do item (b): dupla operação dá a curva original.
  • Pela parte (a), \alpha_{ab}^{*}=\alpha_{\bar a\, b} com \bar a=-\dfrac{b^{2}}{a}.
  • Aplicando outra vez a aplicação “star” (tomar a curva central) sobre \alpha_{\bar a\, b}, o novo parâmetro \overline{\bar a} é
\overline{\bar a}=-\frac{b^{2}}{\bar a}=-\frac{b^{2}}{-\dfrac{b^{2}}{a}}=a.
  • Logo \big(\alpha_{ab}^{*}\big)^{*}=\alpha_{\overline{\bar a}\, b}=\alpha_{a b}.
Isto mostra que a operação de formar a curva central é involutória para esta família: ao aplicar duas vezes volta-se à curva inicial.

Passo 8

Interpretação geométrica do caso (c) b=0.
  • Se b=0, então \alpha_{a0}(t)=(a\cos t,\;a\operatorname{sen} t,\;0), que é o círculo de raio a no plano z=0, centrado em (0,0,0).
  • Pela fórmula do item (a), \bar a=-\dfrac{0^{2}}{a}=0. Assim
\alpha_{a0}^{*}(t)=\alpha_{0,0}(t)=(0,0,0),
isto é, a curva central é constante (ponto fixo) — o centro do círculo.
  • Interpretação geométrica: para um círculo todos os centros de curvatura coincidem com o centro do círculo; a curva central é o ponto central do círculo.

Passo 9

Prova do item (d): equivalência entre curva central constante e traço contido num círculo.
Queremos provar: a curva central C(t) é constante se, e somente se, a imagem de \alpha está contida em um círculo.
Primeiro, algumas definições e fórmulas úteis (parametrização por comprimento de arco):
  • Reparametrize \alpha por comprimento de arco s (isto é sempre possível localmente para curva regular); escrevo \alpha(s).
  • As fórmulas de Frenet (para uma curva regular com \kappa>0) são
\begin{aligned} T'(s)&=\kappa(s)\,n(s),\\[2pt] n'(s)&=-\kappa(s)\,T(s)+\tau(s)\,b(s), \end{aligned}
onde T,n,b são a tríade de Frenet e \tau(s) é a torção.
Agora a prova em duas direções.
Direção “ \Rightarrow”: se a curva central é constante então \alpha está num círculo.
  • Suponha que a curva central seja constante: existe ponto fixo p\in\mathbb{R}^{3} tal que, para todo s,
p=C(s)=\alpha(s)+\frac{1}{\kappa(s)}\,n(s).
Reescrevendo:
\alpha(s)-p=-\frac{1}{\kappa(s)}\,n(s).
  • Diferenciando ambos os lados em relação a s:
\alpha'(s)= -\left(\frac{1}{\kappa(s)}\right)'\! n(s) -\frac{1}{\kappa(s)}\,n'(s).
Usando \alpha'(s)=T(s) e a fórmula de Frenet para n', obtemos
T(s)= -\left(\frac{1}{\kappa}\right)' n(s) -\frac{1}{\kappa}\big(-\kappa T+\tau b\big).
Isto simplifica para
T(s)= -\left(\frac{1}{\kappa}\right)' n(s) + T(s) -\frac{\tau}{\kappa} b(s).
Cancelando T(s) dos dois lados fica
0= -\left(\frac{1}{\kappa}\right)' n(s) -\frac{\tau}{\kappa} b(s).
Os vetores n(s) e b(s) são ortonormais, logo suas combinações lineares só podem dar zero se os coeficientes forem zero. Assim
\left(\frac{1}{\kappa}\right)'=0\quad\text{e}\quad \frac{\tau}{\kappa}=0.
Da primeira igualdade segue \dfrac{1}{\kappa} é constante, logo \kappa é constante. Da segunda segue \tau=0. Portanto \alpha tem curvatura constante e torção nula, ou seja, é uma curva plana com curvatura constante — necessariamente um círculo (ou um arco de círculo). Assim a imagem de \alpha está contida em um círculo.
Direção “ \Leftarrow”: se a imagem de \alpha está contida em um círculo então a curva central é constante.
  • Se \alpha está contida num círculo de centro p e raio R>0, então a curvatura é constante \kappa=1/R e o vetor normal n aponta radialmente para dentro, de modo que
p=\alpha(s)+R\,n(s)=\alpha(s)+\frac{1}{\kappa}\,n(s)
para todo s. Portanto o centro de curvatura C(s) coincide com p constantemente. Logo a curva central é constante.
Isto prova a equivalência pedida.]

Resposta

(a) \displaystyle \alpha_{ab}^{*}=\alpha_{\bar a\, b} com \displaystyle \bar a=-\frac{b^{2}}{a}.
(b) \displaystyle \big(\alpha_{ab}^{*}\big)^{*}=\alpha_{ab}.
(c) Para b=0 a curva \alpha_{a0} é o círculo (a\cos t,a\operatorname{sen} t,0) e sua curva central é constante igual ao centro (0,0,0) do círculo.
(d) A curva central de \alpha é constante se, e somente se, a imagem de \alpha está contida em um círculo.

Exercícios relacionados