Seja
uma curva regular com
. A curva parametrizada
,
, onde
é centro de curvatura de
em
, é chamada curva central de
.
(a) Dados
, ponha
Mostre que
, onde
;
(b) Conclua que
;
(c) Interprete geometricamente o caso
;
(d) A curva central de curva
com
é constante se, e somente se, o traço de
está contido em um círculo.
(a) Dados
(b) Conclua que
(c) Interprete geometricamente o caso
(d) A curva central de curva
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que já foi dado.
- Definição importante (dada): a curva central (curva dos centros de curvatura) de uma curva regular
com curvatura é a curva , onde
sendo
o vetor normal principal unitário em
e
a curvatura em
.
-
Dados do problema:
-
com . - A família de curvas
-
-
O enunciado pede:
(a) Mostrar que, onde .
(b) Concluir que.
(c) Interpretar geometricamente o caso.
(d) Mostrar que a curva central de uma curvacom é constante se, e somente se, a imagem (traço) de está contida em um círculo.
Passo 2
Preparação: fórmulas e ideias que vou usar (explicação didática).
- Para uma curva
qualquer (não necessariamente por comprimento de arco), as derivadas são e . A velocidade (norma da derivada) é . - Uma fórmula prática para a curvatura
é
Esta fórmula dá a curvatura independentemente do parâmetro usado; ela mede “quanto a direção da tangente está mudando por unidade de comprimento de arco”.
- O vetor tangente unitário é
. Se usarmos o parâmetro , então
onde
é o comprimento de arco; e vale ainda
, o que relaciona
,
e
.
- A definição do centro de curvatura em
é
Vou aplicar essas fórmulas explicitamente à curva
.
Passo 3
Cálculos das derivadas e da velocidade para
.
- Derivadas:
- Velocidade (norma de
):
Observação:
é constante (independe de
). Isso é típico de hélices e facilita cálculos.
Passo 4
Cálculo da curvatura
usando a fórmula com produto vetorial.
- Primeiro o produto vetorial
. Vou calcular coordenada a coordenada (determinante):
- Norma desse vetor:
- Usando a fórmula da curvatura:
Portanto
é constante (independe de
) e vale
.
Comentário didático rápido: ter
constante é coerente com a curva ser uma hélice circular — a curvatura de uma hélice circular é constante.
Passo 5
Cálculo do vetor normal principal unitário
.
- Primeiro o tangente unitário:
- Derivando
em relação a . Como é constante, :
- Passando para derivada em relação ao comprimento de arco
:
Mas
. Logo
- Substituindo
, e :
Portanto o vetor normal principal unitário é
Intuição geométrica:
aponta radialmente para dentro do círculo projetado no plano
.
Passo 6
Cálculo do centro de curvatura
(a curva central) para
.
- Pelo definido:
- Usando
, e , temos
então
- Somando com
:
- Observação: isto é exatamente a curva
com
Conclusão do item (a):
com
.]
Passo 7
Prova do item (b): dupla operação dá a curva original.
- Pela parte (a),
com . - Aplicando outra vez a aplicação “star” (tomar a curva central) sobre
, o novo parâmetro é
- Logo
.
Isto mostra que a operação de formar a curva central é involutória para esta família: ao aplicar duas vezes volta-se à curva inicial.
Passo 8
Interpretação geométrica do caso (c)
.
- Se
, então , que é o círculo de raio no plano , centrado em . - Pela fórmula do item (a),
. Assim
isto é, a curva central é constante (ponto fixo) — o centro do círculo.
- Interpretação geométrica: para um círculo todos os centros de curvatura coincidem com o centro do círculo; a curva central é o ponto central do círculo.
Passo 9
Prova do item (d): equivalência entre curva central constante e traço contido num círculo.
Queremos provar: a curva central
é constante se, e somente se, a imagem de
está contida em um círculo.
Primeiro, algumas definições e fórmulas úteis (parametrização por comprimento de arco):
- Reparametrize
por comprimento de arco (isto é sempre possível localmente para curva regular); escrevo . - As fórmulas de Frenet (para uma curva regular com
) são
onde
são a tríade de Frenet e
é a torção.
Agora a prova em duas direções.
Direção “
”: se a curva central é constante então
está num círculo.
- Suponha que a curva central seja constante: existe ponto fixo
tal que, para todo ,
Reescrevendo:
- Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Usando
e a fórmula de Frenet para
, obtemos
Isto simplifica para
Cancelando
dos dois lados fica
Os vetores
e
são ortonormais, logo suas combinações lineares só podem dar zero se os coeficientes forem zero. Assim
Da primeira igualdade segue
é constante, logo
é constante. Da segunda segue
. Portanto
tem curvatura constante e torção nula, ou seja, é uma curva plana com curvatura constante — necessariamente um círculo (ou um arco de círculo). Assim a imagem de
está contida em um círculo.
Direção “
”: se a imagem de
está contida em um círculo então a curva central é constante.
- Se
está contida num círculo de centro e raio , então a curvatura é constante e o vetor normal aponta radialmente para dentro, de modo que
para todo
. Portanto o centro de curvatura
coincide com
constantemente. Logo a curva central é constante.
Isto prova a equivalência pedida.]
Resposta
(a)
com
(b)
(c) Para
a curva
é o círculo
e sua curva central é constante igual ao centro
do círculo.
(d) A curva central de
é constante se, e somente se, a imagem de
está contida em um círculo.